add Digitaltechnik and Lineare Algebra

Lineare Algebra/inhalt/03_Mengen.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\section{Mengen}
+
+\subsection{Zahlenmengen}
+
+\begin{center}
+	\includegraphics[scale=0.4]{Zahlenmengen.jpg}
+\end{center}

Lineare Algebra/inhalt/04_Abbildungen.tex

@@ -0,0 +1,106 @@
+\section{Abbildungen}
+
+\[ f: A \to B, a \mapsto f(a) = b\]
+
+\subsection{Bild}
+
+Alle Elemente von $B$, die durch $f$ erreicht werden:
+
+\[ im(f) = \{b \in B \mid \exists a \in A: f(a) = b\} \]
+
+\subsection{Urbild}
+
+Alle Elemente von $A$, die auf ein Element von $B$ abgebildet werden:
+
+\[ f^{-1}(b) = \{a \in A \mid f(a) = b\} \]
+
+\subsection{Identität}
+
+Jedes Element wird auf sich selbst abgebildet:
+
+\[ \mathrm{id}_A: A \to A, a \mapsto a \]
+
+\subsection{Eigenschaften}
+
+\subsubsection{Injektiv}
+
+\begin{center}
+	\begin{tikzpicture}[scale=0.4,ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}]
+		\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,4) {};
+		\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,3) {};
+		\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,2) {};
+		\node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,1) {};
+
+
+		\node[ele,,label=right:$1$] (b1) at (4,5) {};
+		\node[ele,,label=right:$2$] (b2) at (4,4) {};
+		\node[ele,,label=right:$3$] (b3) at (4,3) {};
+		\node[ele,,label=right:$4$] (b4) at (4,2) {};
+		\node[ele,,label=right:$5$] (b5) at (4,1) {};
+
+
+		\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4),minimum width=2cm] {} ;
+		\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4) (b5),minimum width=2cm] {} ;
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a1) -- (b4);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b3);
+	\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\subsubsection{Surjektiv}
+
+\begin{center}
+	\begin{tikzpicture}[scale=0.4,ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}]
+		\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,5) {};
+		\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,4) {};
+		\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,3) {};
+		\node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,2) {};
+		\node[ele,label=left:$e$] (a5) at (0,1) {};
+
+
+		\node[ele,,label=right:$1$] (b1) at (4,5) {};
+		\node[ele,,label=right:$2$] (b2) at (4,4) {};
+		\node[ele,,label=right:$3$] (b3) at (4,3) {};
+		\node[ele,,label=right:$4$] (b4) at (4,2) {};
+
+
+
+		\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4) (a5),minimum width=2cm] {} ;
+		\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=2cm] {} ;
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a1) -- (b4);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b3);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a5) -- (b1);
+	\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\subsubsection{Bijektiv}
+
+\begin{center}
+	\begin{tikzpicture}[scale=0.4,ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}]
+		\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,5) {};
+		\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,4) {};
+		\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,3) {};
+		\node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,2) {};
+		\node[ele,label=left:$e$] (a5) at (0,1) {};
+
+
+		\node[ele,,label=right:$1$] (b1) at (4,5) {};
+		\node[ele,,label=right:$2$] (b2) at (4,4) {};
+		\node[ele,,label=right:$3$] (b3) at (4,3) {};
+		\node[ele,,label=right:$4$] (b4) at (4,2) {};
+		\node[ele,,label=right:$5$] (b5) at (4,1) {};
+
+
+
+		\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4) (a5),minimum width=2cm] {} ;
+		\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4) (b5),minimum width=2cm] {} ;
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a1) -- (b3);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b5);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a5) -- (b4);
+	\end{tikzpicture}
+\end{center}

Lineare Algebra/inhalt/05_Relationen.tex

@@ -0,0 +1,24 @@
+\section{Relationen}
+
+\subsection{Äquivalenzrelationen}
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Reflexivität}: $x \sim x$ für alle $x \in R$
+	\item \textbf{Symmetrie}: $x \sim y \in R \Rightarrow y \sim x \in R$
+	\item \textbf{Transitivität}: $x \sim y \in R \land y \sim z \in R \Rightarrow x \sim z \in R$
+\end{itemize}
+
+\subsection{Ordnungsrelationen}
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Antisymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \in R \Rightarrow x = y$
+	\item \textbf{Reflexiv}
+	\item \textbf{Transitiv}
+\end{itemize}
+
+\subsection{strikte Ordnungsrelationen}
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Asymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \notin R$
+	\item \textbf{Tansitivität}
+\end{itemize}

Lineare Algebra/inhalt/06_vollstaendigeInduktion.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\section{Vollständige Induktion}
+
+$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}$$
+
+\emph{Induktionsanfang:}\\
+Für $n=1$ gilt
+\[ \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
+Die Behauptung ist also wahr für $n=1$.\\
+\emph{Induktionsschritt:}\\
+Sei die Behauptung nun wahr für ein $n \in \mathbb{N}$. Dann erhalten wir
+\begin{align*}
+	\sum_{k=1}^{n+1} k & = \sum_{k=1}^n k + (n+1)          \\
+	                   & = \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1) \\
+	                   & = \frac{n^2+n+2n+2}{2}            \\
+	                   & = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
+\end{align*}
+Die Aussage gilt also auch für $n+1$.

Lineare Algebra/inhalt/07_Gruppen.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\section{Gruppen}
+
+\subsection{Eigenschaften}
+
+\begin{itemize}
+	\item Es gibt ein neutrales Element $e \in G$.
+	\item Es gibt zu jedem $g \in G$ ein Inverses $g^{-1} \in G$.
+	\item Die Gruppenoperation ist assoziativ.
+\end{itemize}
+
+Gilt zusätzlich $a \cdot b = b \cdot a$, so ist die Gruppe kommutativ oder abelsch.
+
+\subsection{Untergruppen}
+
+\begin{itemize}
+	\item $H \neq \emptyset$
+	\item $\forall h, h' \in H: h \cdot h' \in H$
+	\item $\forall h \in H: h^{-1} \in H$
+\end{itemize}
+
+Das neutrale Element befindet sich in jeder Untergruppe.
+
+\subsection{Homomorphismen}
+
+Es gilt:
+
+$\varphi(a * b) = \varphi(a) \circ \varphi(b)$  \\
+$\varphi(e_G) = e_H$ \\
+$\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$
+
+\subsection{Verknüpfungstafel}
+
+$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:\\
+\begin{tabular}{c||c|c}
+	+ & 0 & 1 \\ \hline \hline
+	0 & 0 & 1 \\ \hline
+	1 & 1 & 0
+\end{tabular}

Lineare Algebra/inhalt/08_Ringe.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\section{Ringe}
+
+\begin{itemize}
+	\item $(R, +)$ ist eine abelsche Gruppe
+	\item $(R, \cdot)$ ist assoziativ
+	\item Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
+\end{itemize}
+
+\textbf{Heißt je, wenn} \\
+Ring mit Eins: $\exists 1 \in R: 1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ \\
+kommutativ: $a \cdot b = b \cdot a$ \\
+nullteilerfrei: $a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0 \lor b = 0$
+
+\section{Körper}
+
+\begin{itemize}
+	\item $(K, +)$ ist eine abelsche Gruppe
+	\item $(K \setminus \{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche Gruppe
+	\item Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
+\end{itemize}

Lineare Algebra/inhalt/09_Vektorraeume.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\section{Vektorräume}
+
+\subsection{Untervektorraum}
+
+\begin{itemize}
+	\item $W \neq \emptyset$
+	\item $\forall v, w \in W: v + w \in W$
+	\item $\forall v \in W, \lambda \in K: \lambda v \in W$
+\end{itemize}
+
+Der Schnitt von Untervektorräumen ist wieder ein Untervektorraum.
+
+\subsection{Lineare Hülle}
+Oder auch Erzeugnis genannt.
+Ist ein Untervektorraum, der alle Linearkombinationen von $v_1, \dots, v_n$ enthält.
+
+\[ \mathrm{lin}(v_1, \dots, v_n) = \left\{ \sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \mid \lambda_k \in K \right\} \]
+
+\subsection{Lineare Unabhängigkeit}
+
+Eine Familie von Vektoren $v_1, \dots, v_n$ ist linear unabhängig, wenn gilt:
+
+\[\mathrm{kern}(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n) = 0_V\]
+
+es lässt sich also jeder darstellbare Vektor eindeutig als Linearkombination der anderen darstellen.
+
+Sollte eine Lineare Hülle als Ergbenis entstehen, so sind die Vektoren linear abhängig.
+

Lineare Algebra/inhalt/10_LineareAbbildungen.tex

@@ -0,0 +1,30 @@
+\section{Lineare Abbildungen}
+
+\[ f: V \to W \]
+
+\subsection{Isomorphismus}
+
+$f$ ist bijektiv.
+
+\subsection{Endomorphismus}
+
+$f: V \to V$ bzw. $V = W$.
+
+\subsection{Automorphismus}
+
+Sowohl Endomorphismus als auch Isomorphismus.
+
+\subsection{Eigenschaften}
+
+\begin{itemize}
+	\item $f(0) = 0$
+	\item $f(v-v') = f(v) - f(v')$
+	\item $f(\lambda v) = \lambda f(v)$
+	\item $V' \subseteq V \Rightarrow f(V') \subseteq W$
+\end{itemize}
+
+\subsection{Bild und Kern}
+
+Bild: $f(V) = \{w \in W \mid \exists v \in V: f(v) = w\}$
+
+Kern: $f^{-1}(0) = \{v \in V \mid f(v) = 0\}$

Lineare Algebra/inhalt/11_Matrizen.tex

@@ -0,0 +1,103 @@
+\section{Matrizen}
+
+\subsection{Einheitsmatrix}
+
+\[ E_n = \begin{pmatrix}
+		1 &        &   &        &   \\
+		  & \ddots &   &        &   \\
+		  &        & 1 &        &   \\
+		  &        &   & \ddots &   \\
+		  &        &   &        & 1
+	\end{pmatrix} \]
+
+\subsection{Addition}
+
+\[
+	M + N \coloneqq (m_{ij} + n_{ij})_{ij}
+\]
+
+\subsection{Skalarmultiplikation}
+
+\[
+	\lambda \cdot M \coloneqq (\lambda \cdot m_{ij})_{ij}
+\]
+
+\subsection{Zeilenstufenform}
+
+Nur nullen unter der Diagonalen. (soweit möglich)
+
+\subsection{Strenge Zeilenstufenform}
+
+Nullen unter und über der Diagonalen. (soweit möglich)\\
+Auf der Diagonalen nur Einsen.
+
+\subsection{Lineare Gleichungssysteme}
+
+Umformen in strenge Zeilenstufenform.\\
+Eventuell Nullzeilen einfügen, wenn Stufen fehlen.\\
+Auf fehlende Stufen eine $-1$ setzen.\\
+Die Lösungsmenge ist dann die Lineare Hülle der Spalten in die eine $-1$ gesetzt wurde, plus der Lösungsvektor.
+
+\[
+	\mathrm{Loes} = \mathrm{lin}(
+	\left(
+	\begin{array}{c}
+			\lambda_1 \\
+			\vdots    \\
+			\lambda_n
+		\end{array}
+	\right), \dots, \left(
+	\begin{array}{c}
+			\lambda_1 \\
+			\vdots    \\
+			\lambda_n
+		\end{array}
+	\right)) + \left(
+	\begin{array}{c}
+			\lambda_1 \\
+			\vdots    \\
+			\lambda_n
+		\end{array}
+	\right)
+\]
+
+\subsection{Basen}
+
+\begin{itemize}
+	\item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Basis, wenn $B$ linear unabhängig ist und $\mathrm{lin}(B) = V$.
+	\item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Erzeugendensystem, wenn $\mathrm{lin}(B) = V$. (Muss nicht linear unabhängig sein)
+\end{itemize}
+
+Die Einheitsbasis ist die Basis
+
+\[ E = \left\{ \left(
+	\begin{array}{c}
+			1      \\
+			0      \\
+			\vdots \\
+			0
+		\end{array}
+	\right), \dots, \left(
+	\begin{array}{c}
+			0      \\
+			\vdots \\
+			0      \\
+			1
+		\end{array}
+	\right) \right\} \]
+
+\subsubsection{Austauschlemma}
+
+Ein Vektor einer Basis kann durch eine Linearkombination der anderen Vektoren ersetzt werden, falls in dieser Linearkombination dieser nicht null mal vorkommt.
+
+\subsection{Darstellungsmatrix}
+
+Eine Darstellungsmatrix $M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(F)$ ist eine Matrix, die die Koordinaten eines Vektors $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in der Basis $\mathcal{B}$ darstellt.
+
+Man erhält sie in dem man für jeden Vektor der Basis $\mathcal{A}$ $F(v_a)$ berechnet, als Linearkombination der Basis $\mathcal{B}$ beschreibt und die Koeffizienten in die Spalten der Matrix schreibt.
+
+\subsection{Transformationsmatrix}
+
+Eine Transformationsmatrix $T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}$ ist eine Matrix, die einen Vektor $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in die Basis $\mathcal{B}$ transformiert.
+
+\[ T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} = M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(\mathrm{id}_V) \]

Lineare Algebra/inhalt/12_Determinanten.tex

@@ -0,0 +1,53 @@
+\section{Determinanten}
+
+\subsection{Umformungen}
+Zeilen und Spalten erlaubt.
+
+\subsection{Multiplikation}
+Zeilen und Spalten erlaubt.\\
+Jedoch muss dann das Ergebnis mit $\frac{1}{\lambda}$ multipliziert werden.
+
+\subsection{Tauschen}
+Zeilen und Spalten erlaubt.\\
+Dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
+
+\subsection{Berechnen}
+
+Ist $A$ eine obere Dreiecksmatrix, also gilt
+\[ A = \begin{pmatrix}
+		\lambda_1 &        & (*)       \\
+		          & \ddots &           \\
+		0         &        & \lambda_n
+	\end{pmatrix}\]
+dann gilt $\det A =\prod_{i=1}^n \lambda_i = \lambda_1 \cdots \lambda_n$.
+
+Gibt es quadratische Matrizen $A_1$ und $A_2$, sodass gilt
+\[ A = \begin{pmatrix}
+		A_1 & C   \\
+		0   & A_2
+	\end{pmatrix}\]
+Dann gilt $\det A = \det (A_1) \cdot \det(A_2).$
+
+\subsection{Laplace'scher Entwicklungssatz}
+
+\[ A_{ij} =
+	\begin{pmatrix}
+		a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
+		\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
+		\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn}
+	\end{pmatrix}
+\]
+
+Entwicklung nach $i$-te Zeile: \[det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
+oder $j$-te Spalte \[det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
+Ist nun in der Spalte $j$ / Zeile $i$ alles außer $a_{ij}$ gleich $0$, so gilt
+\[\det A = (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
+
+\subsection{Satz von Sarrus}
+
+Für eine $2 \times 2$-Matrix \[ A = \begin{pmatrix}
+		a & b \\
+		c & d
+	\end{pmatrix}\] gilt $\det A = ad - bc$.

Lineare Algebra/inhalt/13_Diagonalisierung.tex

@@ -0,0 +1,29 @@
+\section{Diagonalisierung}
+
+\subsection{Charakteristisches Polynom}
+
+$\chi_{\text{char},M}(T) \coloneqq \mathrm{det}(T \cdot E_n - M)$
+
+Hat folgende Form:
+
+$\prod_{i=1}^n (T - \lambda_i) = (T - \lambda_1) \cdot ... \cdot (T - \lambda_n)$
+
+\subsection{Eigenwerte}
+
+Nullstellen des charakteristischen Polynoms
+
+$\chi_{\text{char},M}(\lambda) = 0$
+
+\subsection{Eigenräume}
+
+Um den Eigenraum zu einem Eigenwert $\lambda$ zu bestimmen, löse das homogene LGS:
+
+$\mathrm{Loes}(\lambda \cdot E_n - M, 0) = \mathrm{ker}(\lambda E_n - M)$
+
+\subsection{Diagonalisierbarkeit}
+
+Um eine Matrix $M_{n \times n}$ zu diagonalisieren, benötigt man $n$ linear unabhängige Eigenvektoren.
+
+Diese bilden die Spalten der Matrix $S^{-1}$.
+
+Die Diagonalmatrix $D$ enthält die Eigenwerte $\lambda_i$ auf der Diagonalen in der Reihenfolge der zugehörigen Eigenvektoren.

Lineare Algebra/main.tex

@@ -0,0 +1,84 @@
+\documentclass[10pt,landscape,a4paper]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage[LY1,T1]{fontenc}
+%\usepackage{frutigernext}
+%\usepackage[lf,minionint]{MinionPro}
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+\usetikzlibrary{shapes,positioning,arrows,fit,calc,graphs,graphs.standard}
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+\let\bar\overline
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+\definecolor{myblue}{cmyk}{1,.72,0,.38}
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+\makeatletter
+\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}%
+                                {.2ex}%
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+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+\begin{document}
+\small
+\begin{multicols*}{3}
+	\input{inhalt/02_Logik}
+	\input{inhalt/03_Mengen}
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+\end{document}