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TeX
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\section{Gruppen}
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\subsection{Eigenschaften}
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\begin{itemize}
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\item Es gibt ein neutrales Element $e \in G$.
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\item Es gibt zu jedem $g \in G$ ein Inverses $g^{-1} \in G$.
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\item Die Gruppenoperation ist assoziativ.
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\end{itemize}
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Gilt zusätzlich $a \cdot b = b \cdot a$, so ist die Gruppe kommutativ oder abelsch.
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\subsection{Untergruppen}
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\begin{itemize}
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\item $H \neq \emptyset$
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\item $\forall h, h' \in H: h \cdot h' \in H$
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\item $\forall h \in H: h^{-1} \in H$
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\end{itemize}
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Das neutrale Element befindet sich in jeder Untergruppe.
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\subsection{Homomorphismen}
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Es gilt:
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$\varphi(a * b) = \varphi(a) \circ \varphi(b)$ \\
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$\varphi(e_G) = e_H$ \\
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$\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$
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\subsection{Verknüpfungstafel}
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$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:\\
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\begin{tabular}{c||c|c}
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+ & 0 & 1 \\ \hline \hline
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0 & 0 & 1 \\ \hline
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1 & 1 & 0
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\end{tabular}
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