\section{Gruppen}

\subsection{Eigenschaften}

\begin{itemize}
	\item Es gibt ein neutrales Element $e \in G$.
	\item Es gibt zu jedem $g \in G$ ein Inverses $g^{-1} \in G$.
	\item Die Gruppenoperation ist assoziativ.
\end{itemize}

Gilt zusätzlich $a \cdot b = b \cdot a$, so ist die Gruppe kommutativ oder abelsch.

\subsection{Untergruppen}

\begin{itemize}
	\item $H \neq \emptyset$
	\item $\forall h, h' \in H: h \cdot h' \in H$
	\item $\forall h \in H: h^{-1} \in H$
\end{itemize}

Das neutrale Element befindet sich in jeder Untergruppe.

\subsection{Homomorphismen}

Es gilt:

$\varphi(a * b) = \varphi(a) \circ \varphi(b)$  \\
$\varphi(e_G) = e_H$ \\
$\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$

\subsection{Verknüpfungstafel}

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:\\
\begin{tabular}{c||c|c}
	+ & 0 & 1 \\ \hline \hline
	0 & 0 & 1 \\ \hline
	1 & 1 & 0
\end{tabular}