add Digitaltechnik and Lineare Algebra

Digitaltechnik/inhalt/00_Begriffe.tex

@@ -0,0 +1,5 @@
+\section{Begriffe}
+
+\textbf{Codierung:} Darstellung von Informationen mit Hilfe eines Symbols oder einer Symbolfolge, wobei die Symbole einem Alphabet entnommen sind \\
+\textbf{Alphabet:} endliche Mengen von Symbolen \\
+\textbf{Signal:} Physikalisch messbare Größe

Digitaltechnik/inhalt/01_Codierung.tex

@@ -0,0 +1,202 @@
+\section{Codierung}
+
+\subsection{Arten von Codierungen}
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Zeichencodierung:} Darstellung von Schriftzeichen
+	\item \textbf{Zahlencodierung:} Darstellung von Zahlenwerten
+	\item \textbf{Anwendungscodierung:} Darstellung von Informationen einer Anwendung
+	\item \textbf{Verschlüsselung:} Umcodierung, sodass die Daten nur mit zusätzlichen Informationen entschlüsselt werden können
+	\item \textbf{Komprimierung:} Reduzierung der Datenmenge durch Umcodierung
+	\item \textbf{Signalcodierung:} Darstellung abstrakter Info als \\Signal/Signalfolge
+\end{itemize}
+
+\subsection{Zeichencodierung}
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{ASCII:} 7-Bit-Zeichensatz, viele nationale Zeichen nicht enthalten
+	\item \textbf{ISO 8859-X:} 8-Bit-Zeichensatz, erweitert ASCII um nationale Zeichen
+	\item \textbf{Unicode:} 8/16/32-Bit-Zeichensatz, enthält fast alle Schriftzeichen, enthält Fortsetzungszeichen
+\end{itemize}
+
+\subsection{Zahlencodierung}
+
+\subsubsection{Abzählsysteme}
+
+Jedes Symbol hat einen Symbolwert, aufaddieren der Symbolwerte ergibt den Zahlenwert.
+
+\subsubsection{Fingerabzählsystem}
+
+$A = \{\mathrm{Finger}\}$ \\
+$S(\mathrm{Finger}) = 1$ \\
+Wertebereich $[0, 10[$ \\
+Keine negativen Zahlen möglich, sehr einfach
+
+\subsubsection{Einfache Strichliste}
+
+$A = \{\mid\}$ \\
+$S(\mid) = 1$ \\
+Wertebereich $[0, \infty[$ \\
+Keine negativen Zahlen möglich, sehr einfach, keine Subtraktion möglich, Übersichtlich bis ca. $10$
+
+\subsubsection{erweiterte Strichliste}
+
+$A = \{\mid, \cancel{\mid\mid\mid\mid}\}$ \\
+$S(\mid) = 1$ \\
+$S(\cancel{\mid\mid\mid\mid}) = 5$ \\
+Wertebereich $[0, \infty[$ \\
+Sortieren und zusammenfassen wenn möglich \\
+Keine negativen Zahlen möglich, einfach, keine Subtraktion möglich, Übersichtlich bis ca. $50$
+
+\subsubsection{Römisches Zahlensystem}
+
+$A = \{I, V, X, L, C, D, M\}$ \\
+$S(I) = 1$ \\
+$S(V) = 5$ \\
+$S(X) = 10$ \\
+$S(L) = 50$ \\
+$S(C) = 100$ \\
+$S(D) = 500$ \\
+$S(M) = 1000$ \\
+Wertebereich $[0, 3999]$ \\
+Keine negativen Zahlen möglich, keine Subtraktion möglich, wenig verständlich, nicht einfach
+
+\subsection{Stellenwertsysteme}
+
+Gängige Stellenwertsysteme:
+
+\begin{itemize}
+	\item Dezimalsystem: Basis 10
+	\item Binärsystem: Basis 2
+	\item Oktalsystem: Basis 8
+	\item Hexadezimalsystem: Basis 16
+\end{itemize}
+
+Darstellung von negativen Zahlen:
+
+\begin{itemize}
+	\item Vorzeichen und Betrag
+	\item Einerkomplement
+	\item Zweierkomplement
+\end{itemize}
+
+Darstellung von Kommazahlen:
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Bruchdarstellung:} Unendlich viele Möglichkeiten
+	\item \textbf{Festkommadarstellung:} Feste Anzahl an Nachkommastellen (Verschiebung des Kommas)
+	\item \textbf{Gleitkommadarstellung:} Mantisse und Exponent
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{IEEE 754}
+
+Sign Bit $S$ statt 2er Komplement. Manitisse $M$ und Exponent $E$. \\
+$S \cdot M \cdot 2^E$
+
+\paragraph{Normalisierte Darstellung} \ \\
+\textbf{Zwei Optionen:} \\
+Mantisse mit genau einer Ziffer vor dem Komma ODER
+Manitisse mit $0$ vor dem Komma und erstem Nachkommastellenzeichen $1$
+
+\paragraph{reservierte Bitmuster} \ \\
+Exponent $0$: keine Normalisierung, kein Hidden Bit $\to$ Exponent = 1 - Bias \\
+$\to$ Mantisse $0$: $\pm 0$ \\
+Exponent $2^e - 1$: Zahl nicht darstellbar \\
+$\to$ Mantisse $0$: $\pm \infty$ \\
+$\to$ Mantisste $\neq 0$: NaN
+
+\paragraph{Umrechnung}
+\begin{enumerate}
+	\item Vorzeichen merken, weiter mit Betrag
+	\item Darstellung als Festkommazahl also Exponent (Basis 10) = 0
+	\item Umrechnung als Festkommazahl ins Binärsystem (Mantisse (bei 16 Bit → 10) Stellen nach der 1. “1” berechnen)
+	\item Bestimmung von Exponent real durch Kommaverschiebung bei der Mantisse hinter die erste “1” (Normalisierung)
+	\item Bestimmung von Exponent gespeichert (Exponent reals + Bias)
+	\item Umrechnung Exponent gespeichert ins Binärsystem
+	\item Notation des Bitmusters (fehlende Stellen bei Exponent mit führenden “0”, bei Mantisse mit “0” am ende auffüllen, bei zu großen Zahlen → Bitmuster für Unendlich)
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection{Codierungsmethoden}
+
+\begin{itemize}
+	\item Wertecodierung: Wert wird insgesamt codiert
+	\item Zifferncodierng: Ziffern werden einzeln codiert
+\end{itemize}
+
+\paragraph{BCD (Binary Coded Decimal)} \ \\
+4-Bit-Code für jede Dezimalziffer, 0-9 codiert, 1010-1111 reserviert
+
+\paragraph{Gray-Code} \ \\
+Wechsel nur einer Bitstelle bei aufeinanderfolgenden Zahlen, um lesefehler zu vermindern.\\
+Beginend mit $0\dots0$ je das rechteste Bit invertieren, sodass ein bislang nicht vorkommender Code entsteht.
+
+\subsection{Signalcodierung}
+
+Mögliche Signalarten:
+
+\begin{itemize}
+	\item elektrische Signale (z.B. in Computern verwendet)
+	\item optische Signale
+	\item mechanische Signale
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{NRZ (Non Return to Zero)}
+
+symmetrische oder single-ended Pegel \\
+Während eines Bitintervalls wird ein Signalpegel gehalten.
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{TRG}: Bei jedem Pegelwechsel ist Taktrückgewinnung möglich
+	\item \textbf{GSF}: Nur bei symmetrischen Pegel und gleichverteiltung von 0 und 1 Gleichstromfrei.
+	\item \textbf{SSH}: Störsicherheit optimal, da nur 2 Pegel
+	\item \textbf{BBB}: Halbe Schrittweite, also optimaler Bandbreitenbedarf
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{RZ (Return to Zero)}
+
+symmetrische oder single-ended Pegel \\
+Während eines Bitintervalls wird ein Signalpegel gehalten, in der Mitte des Intervalls wird der Pegel auf 0 zurückgesetzt.
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{TRG}: Bei jeder 1 ist Taktrückgewinnung möglich
+	\item \textbf{GSF}: in der Praxis nie Gleichstromfrei.
+	\item \textbf{SSH}: Störsicherheit optimal, da nur 2 Pegel
+	\item \textbf{BBB}: schlecht (vorallem bei vielen 1)
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{AMI (Alternate Mark Inversion)}
+
+symmetrische Pegel + 0-Pegel. \\
+Zwei Signalpegel für die $1$-Darstellung. \\
+Die beiden Signalpegel wechseln sich ab.
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{TRG}: Bei jeder 1 ist Taktrückgewinnung möglich
+	\item \textbf{GSF}: nach jeder 2ten 1 Gleichstromfrei (in der Praxis immer)
+	\item \textbf{SSH}: Störsicherheit schlecht, da 3 Pegel
+	\item \textbf{BBB}: Halbe Schrittweite, also optimaler Bandbreitenbedarf
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Manchester}
+
+symmetrische Pegel \\
+Darstellung eines Bits mithilfe eines Pegelwechsels in der Mitte des Bitintervalls.\\
+z.B. $0 \to 01$ und $1 \to 10$
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{TRG}: immer Taktrückgewinnung möglich
+	\item \textbf{GSF}: immer Gleichstromfrei
+	\item \textbf{SSH}: optimal, da nur 2 Pegel
+	\item \textbf{BBB}: schlecht
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{TRG ermöglichen}
+
+\begin{enumerate}
+	\item \textbf{Startbitsequenz}: \\
+	      Vor jedem Datenblock eine Startbitsequenz, die eine Taktrückgewinnung ermöglicht.
+	\item \textbf{Bit-Stuffing}: \\
+	      Wenn zu viele gleiche Bits hintereinander auftreten, wird ein zusätzliches Bit eingefügt.
+	\item \textbf{Blockcodierung}: \\
+	      Daten werden in Blöcke der länge n+1 umcodiert, die eine Taktrückgewinnung ermöglichen.
+\end{enumerate}

Digitaltechnik/inhalt/02_Boolsche_Algebra.tex

@@ -0,0 +1,10 @@
+\section{Boolsche Algebra}
+
+\subsection{Huntington-Axiome}
+
+\begin{enumerate}
+	\item \textbf{Kommmutativität}: $a \land b = b \land a$ und $a \lor b = b \lor a$
+	\item \textbf{Distributivität}: $a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$ und $a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$
+	\item \textbf{neutrales Element}: $a \land 1 = a$ und $a \lor 0 = a$
+	\item \textbf{inverses Element}: $a \land \overline{a} = 0$ und $a \lor \overline{a} = 1$
+\end{enumerate}

Digitaltechnik/inhalt/03_Schaltnetze.tex

@@ -0,0 +1,39 @@
+\section{Schaltnetze}
+
+Darstellung der Schaltalgebra als Graphen. \\
+\textbf{Knoten:} Gatter, stehen für logische Funktionen \\
+\textbf{Kanten:} Verbindungen zwischen den Gattern, stehen für die Ausführungsreihenfolge
+
+\subsection{Konventionen}
+
+\begin{itemize}
+	\item Negation eines Ein- oder Ausgangs durch einen kleinen Kreis
+	\item UND- und ODER-Gatter können beliebig viele Eingänge haben
+	\item von links nach rechts / von oben nach unten
+	\item Verzweigung durch einen kleinen ausgefüllten Kreis an der Verzweigungsstelle
+	\item Kreuzung von Leitungen erlaubt, wenn kein kleiner Kreis vorhanden ist
+\end{itemize}
+
+\subsection{Aufwand}
+
+\textbf{HW-Aufwand:} Anzahl der Eingänge aller Gatter \\
+\textbf{Zeit-Aufwand:} Anzahl der Gatter, die ein Signal durchlaufen muss
+
+\subsection{Schaltnetzanalyse}
+
+\subsubsection{DNF (Disjunktive Normalform)}
+
+Bildung einer Disjunktion von Implikanten von $f$ mit möglichst wenig HW-Aufwand. \\
+Ein \textbf{Primimplikant} ist ein Implikant, der mit keinem anderen zusammengefasst werden kann. \\
+Eine \textbf{Disjunktive-Minimalform (DMF)} ist eine Disjunktion von Primimplikanten, die $f$ beschreibt. \\
+Ein \textbf{Kernprimimplikant} ist ein Primimplikant, welcher mindestens einen Minterm exklusiv enthält.
+
+\subsubsection{KNF (Konjunktive Normalform)}
+
+Bildung einer Konjunktion von Maxtermen von $f$ mit möglichst wenig HW-Aufwand. \\
+Ein \textbf{Primimplikat} ist ein Implikat, der mit keinem anderen zusammengefasst werden kann. \\
+Eine \textbf{Konjunktive-Minimalform (KMF)} ist eine Konjunktion von Primimplikatoren, die $f$ beschreibt. \\
+Ein \textbf{Kernprimimplikat} ist ein Primimplikat, welcher mindestens einen Maxterm exklusiv enthält.
+
+\subsubsection{KV-Diagramm}
+Hiermit können Primimplikanten und DMF einfach gefunden werden.

Digitaltechnik/inhalt/04_Schaltwerke.tex

@@ -0,0 +1,61 @@
+\section{Schaltwerke}
+
+Gleiche bestandteile wie Schaltnetze, aber Rückgekoppellungen möglich.\\
+Zustände/Speichervermögen durch Rückkopplung.
+
+\subsection{Schaltwerkanalyse}
+
+\begin{enumerate}
+	\item Aufstellen von Funktionstermen (für die Ausgänge) und entsprechender Wertetabelle, wobei die vormals rückgekoppelten Eingänge vor den unabhängigen (echten) Eingänge notiert werden.
+	\item Markieren der stabilen und instabilen Zeilen der WT, wobei bei instabilen Zeilen (mindestens) eine A-Belegung nicht mit der entsprechenden E-Belegung übereinstimmt. (Vergleich von A-Belegungen und E-Belegungen der rückgekoppelten Eingänge)
+	\item Bei instabilen Zeilen: Notation der Folgezeile, indem die E-Belegung durch die entsprechende A-Belegung ersetzt wird, bis entweder eine stabile Folgezeile oder ein Zyklus erreicht wird.
+	\item Benennen der Zustände des Schaltwerks anhand der Belegung der rückgekoppelten Eingänge
+	\item Aufstellen des Zustandsübergangsdiagramms, wobei die Zustandsübergänge durch die Belegung der unabhängigen (nicht rückgekoppelten) Eingänge bewirkt wird.
+	\item Verständnis für das Verhalten des Schaltwerkes herauslesen.
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Flip-Flops}
+
+\subsubsection{Taktsteuerung}
+
+\paragraph{TPS (Takt-Pegel-Steuerung)} \ \\
+Aktiv solange ein Taktpegel anliegt.
+
+\paragraph{TFS (Takt-Flanken-Steuerung)} \ \\
+Aktiv bei steigender oder fallender Flanke.
+
+\subsubsection{RS-Flip-Flop}
+
+\includegraphics[width=0.2\textwidth]{TPS_RS_FF.png}
+
+2 Eingänge: S (Set) und R (Reset) \\
+2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\
+Mit und ohne Takt: speichert \\
+Verbotene Zustände: S = R = 1
+
+\subsubsection{D-Flip-Flop}
+
+\includegraphics[width=0.2\textwidth]{D_FF.png}
+
+1 Eingang: D (Data) \\
+2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\
+Ohne Takt: transparent, mit Takt: speichert \\
+Keine verbotenen Zustände
+
+\subsubsection{JK-Flip-Flop}
+
+\includegraphics[width=0.2\textwidth]{JK_FF.png}
+
+2 Eingänge: J und K \\
+2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\
+Mit und ohne Takt: speichert \\
+Keine verbotenen Zustände (J=K=1: Togglen)
+
+\subsubsection{T-Flip-Flop}
+
+\includegraphics[width=0.2\textwidth]{T_FF.png}
+
+1 Eingang: T (Toggle) \\
+2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\
+Nur mit TFS definiert \\
+Wechsel des Ausgangs bei steigender Flanke

Digitaltechnik/inhalt/05_Halbleiterspeicher.tex

@@ -0,0 +1,5 @@
+\section{Halbleiterspeicher}
+
+Speichern von Informationen mit einem Halbleiterbauelement (Kondensator). \\
+Nach jedem Lesen (Transistor verbaut, dass er nicht immer entladen ist) + regelmäßig wegen selbstentladung muss der Kondensator neu geladen werden. \\
+\textbf{HW-Aufwand:} 2 Transistoren pro Bit

Digitaltechnik/main.tex

@@ -0,0 +1,79 @@
+\documentclass[10pt,landscape,a4paper]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage[LY1,T1]{fontenc}
+%\usepackage{frutigernext}
+%\usepackage[lf,minionint]{MinionPro}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{shapes,positioning,arrows,fit,calc,graphs,graphs.standard}
+\usepackage[nosf]{kpfonts}
+\usepackage[t1]{sourcesanspro}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{wrapfig}
+\usepackage[top=4mm,bottom=4mm,left=4mm,right=4mm]{geometry}
+\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed}
+\usepackage{microtype}
+\usepackage{pdfpages}
+\usepackage{cancel}
+
+\let\bar\overline
+
+\definecolor{myblue}{cmyk}{1,.72,0,.38}
+
+\def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
+\def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}
+
+\colorlet{circle edge}{myblue}
+\colorlet{circle area}{myblue!5}
+
+\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
+    outline/.style={draw=circle edge, thick}}
+    
+\pgfdeclarelayer{background}
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+
+\everymath\expandafter{\the\everymath \color{myblue}}
+\everydisplay\expandafter{\the\everydisplay \color{myblue}}
+
+\renewcommand{\baselinestretch}{.8}
+\pagestyle{empty}
+
+\global\mdfdefinestyle{header}{%
+linecolor=gray,linewidth=1pt,%
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+}
+
+\newcommand{\header}{
+\begin{mdframed}[style=header]
+\footnotesize
+\sffamily
+Cheat sheet\\
+by~Your~Name,~page~\thepage~of~2
+\end{mdframed}
+}
+
+\makeatletter
+\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}%
+                                {.2ex}%
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+\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{1}{0mm}%
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+
+\makeatother
+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+\begin{document}
+\small
+\begin{multicols*}{3}
+	\input{inhalt/00_Begriffe}
+	\input{inhalt/01_Codierung}
+	\input{inhalt/02_Boolsche_Algebra}
+	\input{inhalt/03_Schaltnetze}
+	\input{inhalt/04_Schaltwerke}
+	\input{inhalt/05_Halbleiterspeicher}
+\end{multicols*}
+\end{document}

Lineare Algebra/inhalt/03_Mengen.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\section{Mengen}
+
+\subsection{Zahlenmengen}
+
+\begin{center}
+	\includegraphics[scale=0.4]{Zahlenmengen.jpg}
+\end{center}

Lineare Algebra/inhalt/04_Abbildungen.tex

@@ -0,0 +1,106 @@
+\section{Abbildungen}
+
+\[ f: A \to B, a \mapsto f(a) = b\]
+
+\subsection{Bild}
+
+Alle Elemente von $B$, die durch $f$ erreicht werden:
+
+\[ im(f) = \{b \in B \mid \exists a \in A: f(a) = b\} \]
+
+\subsection{Urbild}
+
+Alle Elemente von $A$, die auf ein Element von $B$ abgebildet werden:
+
+\[ f^{-1}(b) = \{a \in A \mid f(a) = b\} \]
+
+\subsection{Identität}
+
+Jedes Element wird auf sich selbst abgebildet:
+
+\[ \mathrm{id}_A: A \to A, a \mapsto a \]
+
+\subsection{Eigenschaften}
+
+\subsubsection{Injektiv}
+
+\begin{center}
+	\begin{tikzpicture}[scale=0.4,ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}]
+		\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,4) {};
+		\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,3) {};
+		\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,2) {};
+		\node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,1) {};
+
+
+		\node[ele,,label=right:$1$] (b1) at (4,5) {};
+		\node[ele,,label=right:$2$] (b2) at (4,4) {};
+		\node[ele,,label=right:$3$] (b3) at (4,3) {};
+		\node[ele,,label=right:$4$] (b4) at (4,2) {};
+		\node[ele,,label=right:$5$] (b5) at (4,1) {};
+
+
+		\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4),minimum width=2cm] {} ;
+		\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4) (b5),minimum width=2cm] {} ;
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a1) -- (b4);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b3);
+	\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\subsubsection{Surjektiv}
+
+\begin{center}
+	\begin{tikzpicture}[scale=0.4,ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}]
+		\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,5) {};
+		\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,4) {};
+		\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,3) {};
+		\node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,2) {};
+		\node[ele,label=left:$e$] (a5) at (0,1) {};
+
+
+		\node[ele,,label=right:$1$] (b1) at (4,5) {};
+		\node[ele,,label=right:$2$] (b2) at (4,4) {};
+		\node[ele,,label=right:$3$] (b3) at (4,3) {};
+		\node[ele,,label=right:$4$] (b4) at (4,2) {};
+
+
+
+		\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4) (a5),minimum width=2cm] {} ;
+		\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=2cm] {} ;
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a1) -- (b4);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b3);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a5) -- (b1);
+	\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\subsubsection{Bijektiv}
+
+\begin{center}
+	\begin{tikzpicture}[scale=0.4,ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}]
+		\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,5) {};
+		\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,4) {};
+		\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,3) {};
+		\node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,2) {};
+		\node[ele,label=left:$e$] (a5) at (0,1) {};
+
+
+		\node[ele,,label=right:$1$] (b1) at (4,5) {};
+		\node[ele,,label=right:$2$] (b2) at (4,4) {};
+		\node[ele,,label=right:$3$] (b3) at (4,3) {};
+		\node[ele,,label=right:$4$] (b4) at (4,2) {};
+		\node[ele,,label=right:$5$] (b5) at (4,1) {};
+
+
+
+		\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4) (a5),minimum width=2cm] {} ;
+		\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4) (b5),minimum width=2cm] {} ;
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a1) -- (b3);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b5);
+		\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a5) -- (b4);
+	\end{tikzpicture}
+\end{center}

Lineare Algebra/inhalt/05_Relationen.tex

@@ -0,0 +1,24 @@
+\section{Relationen}
+
+\subsection{Äquivalenzrelationen}
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Reflexivität}: $x \sim x$ für alle $x \in R$
+	\item \textbf{Symmetrie}: $x \sim y \in R \Rightarrow y \sim x \in R$
+	\item \textbf{Transitivität}: $x \sim y \in R \land y \sim z \in R \Rightarrow x \sim z \in R$
+\end{itemize}
+
+\subsection{Ordnungsrelationen}
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Antisymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \in R \Rightarrow x = y$
+	\item \textbf{Reflexiv}
+	\item \textbf{Transitiv}
+\end{itemize}
+
+\subsection{strikte Ordnungsrelationen}
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Asymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \notin R$
+	\item \textbf{Tansitivität}
+\end{itemize}

Lineare Algebra/inhalt/06_vollstaendigeInduktion.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\section{Vollständige Induktion}
+
+$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}$$
+
+\emph{Induktionsanfang:}\\
+Für $n=1$ gilt
+\[ \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
+Die Behauptung ist also wahr für $n=1$.\\
+\emph{Induktionsschritt:}\\
+Sei die Behauptung nun wahr für ein $n \in \mathbb{N}$. Dann erhalten wir
+\begin{align*}
+	\sum_{k=1}^{n+1} k & = \sum_{k=1}^n k + (n+1)          \\
+	                   & = \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1) \\
+	                   & = \frac{n^2+n+2n+2}{2}            \\
+	                   & = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
+\end{align*}
+Die Aussage gilt also auch für $n+1$.

Lineare Algebra/inhalt/07_Gruppen.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\section{Gruppen}
+
+\subsection{Eigenschaften}
+
+\begin{itemize}
+	\item Es gibt ein neutrales Element $e \in G$.
+	\item Es gibt zu jedem $g \in G$ ein Inverses $g^{-1} \in G$.
+	\item Die Gruppenoperation ist assoziativ.
+\end{itemize}
+
+Gilt zusätzlich $a \cdot b = b \cdot a$, so ist die Gruppe kommutativ oder abelsch.
+
+\subsection{Untergruppen}
+
+\begin{itemize}
+	\item $H \neq \emptyset$
+	\item $\forall h, h' \in H: h \cdot h' \in H$
+	\item $\forall h \in H: h^{-1} \in H$
+\end{itemize}
+
+Das neutrale Element befindet sich in jeder Untergruppe.
+
+\subsection{Homomorphismen}
+
+Es gilt:
+
+$\varphi(a * b) = \varphi(a) \circ \varphi(b)$  \\
+$\varphi(e_G) = e_H$ \\
+$\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$
+
+\subsection{Verknüpfungstafel}
+
+$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:\\
+\begin{tabular}{c||c|c}
+	+ & 0 & 1 \\ \hline \hline
+	0 & 0 & 1 \\ \hline
+	1 & 1 & 0
+\end{tabular}

Lineare Algebra/inhalt/08_Ringe.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\section{Ringe}
+
+\begin{itemize}
+	\item $(R, +)$ ist eine abelsche Gruppe
+	\item $(R, \cdot)$ ist assoziativ
+	\item Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
+\end{itemize}
+
+\textbf{Heißt je, wenn} \\
+Ring mit Eins: $\exists 1 \in R: 1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ \\
+kommutativ: $a \cdot b = b \cdot a$ \\
+nullteilerfrei: $a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0 \lor b = 0$
+
+\section{Körper}
+
+\begin{itemize}
+	\item $(K, +)$ ist eine abelsche Gruppe
+	\item $(K \setminus \{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche Gruppe
+	\item Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
+\end{itemize}

Lineare Algebra/inhalt/09_Vektorraeume.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\section{Vektorräume}
+
+\subsection{Untervektorraum}
+
+\begin{itemize}
+	\item $W \neq \emptyset$
+	\item $\forall v, w \in W: v + w \in W$
+	\item $\forall v \in W, \lambda \in K: \lambda v \in W$
+\end{itemize}
+
+Der Schnitt von Untervektorräumen ist wieder ein Untervektorraum.
+
+\subsection{Lineare Hülle}
+Oder auch Erzeugnis genannt.
+Ist ein Untervektorraum, der alle Linearkombinationen von $v_1, \dots, v_n$ enthält.
+
+\[ \mathrm{lin}(v_1, \dots, v_n) = \left\{ \sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \mid \lambda_k \in K \right\} \]
+
+\subsection{Lineare Unabhängigkeit}
+
+Eine Familie von Vektoren $v_1, \dots, v_n$ ist linear unabhängig, wenn gilt:
+
+\[\mathrm{kern}(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n) = 0_V\]
+
+es lässt sich also jeder darstellbare Vektor eindeutig als Linearkombination der anderen darstellen.
+
+Sollte eine Lineare Hülle als Ergbenis entstehen, so sind die Vektoren linear abhängig.
+

Lineare Algebra/inhalt/10_LineareAbbildungen.tex

@@ -0,0 +1,30 @@
+\section{Lineare Abbildungen}
+
+\[ f: V \to W \]
+
+\subsection{Isomorphismus}
+
+$f$ ist bijektiv.
+
+\subsection{Endomorphismus}
+
+$f: V \to V$ bzw. $V = W$.
+
+\subsection{Automorphismus}
+
+Sowohl Endomorphismus als auch Isomorphismus.
+
+\subsection{Eigenschaften}
+
+\begin{itemize}
+	\item $f(0) = 0$
+	\item $f(v-v') = f(v) - f(v')$
+	\item $f(\lambda v) = \lambda f(v)$
+	\item $V' \subseteq V \Rightarrow f(V') \subseteq W$
+\end{itemize}
+
+\subsection{Bild und Kern}
+
+Bild: $f(V) = \{w \in W \mid \exists v \in V: f(v) = w\}$
+
+Kern: $f^{-1}(0) = \{v \in V \mid f(v) = 0\}$

Lineare Algebra/inhalt/11_Matrizen.tex

@@ -0,0 +1,103 @@
+\section{Matrizen}
+
+\subsection{Einheitsmatrix}
+
+\[ E_n = \begin{pmatrix}
+		1 &        &   &        &   \\
+		  & \ddots &   &        &   \\
+		  &        & 1 &        &   \\
+		  &        &   & \ddots &   \\
+		  &        &   &        & 1
+	\end{pmatrix} \]
+
+\subsection{Addition}
+
+\[
+	M + N \coloneqq (m_{ij} + n_{ij})_{ij}
+\]
+
+\subsection{Skalarmultiplikation}
+
+\[
+	\lambda \cdot M \coloneqq (\lambda \cdot m_{ij})_{ij}
+\]
+
+\subsection{Zeilenstufenform}
+
+Nur nullen unter der Diagonalen. (soweit möglich)
+
+\subsection{Strenge Zeilenstufenform}
+
+Nullen unter und über der Diagonalen. (soweit möglich)\\
+Auf der Diagonalen nur Einsen.
+
+\subsection{Lineare Gleichungssysteme}
+
+Umformen in strenge Zeilenstufenform.\\
+Eventuell Nullzeilen einfügen, wenn Stufen fehlen.\\
+Auf fehlende Stufen eine $-1$ setzen.\\
+Die Lösungsmenge ist dann die Lineare Hülle der Spalten in die eine $-1$ gesetzt wurde, plus der Lösungsvektor.
+
+\[
+	\mathrm{Loes} = \mathrm{lin}(
+	\left(
+	\begin{array}{c}
+			\lambda_1 \\
+			\vdots    \\
+			\lambda_n
+		\end{array}
+	\right), \dots, \left(
+	\begin{array}{c}
+			\lambda_1 \\
+			\vdots    \\
+			\lambda_n
+		\end{array}
+	\right)) + \left(
+	\begin{array}{c}
+			\lambda_1 \\
+			\vdots    \\
+			\lambda_n
+		\end{array}
+	\right)
+\]
+
+\subsection{Basen}
+
+\begin{itemize}
+	\item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Basis, wenn $B$ linear unabhängig ist und $\mathrm{lin}(B) = V$.
+	\item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Erzeugendensystem, wenn $\mathrm{lin}(B) = V$. (Muss nicht linear unabhängig sein)
+\end{itemize}
+
+Die Einheitsbasis ist die Basis
+
+\[ E = \left\{ \left(
+	\begin{array}{c}
+			1      \\
+			0      \\
+			\vdots \\
+			0
+		\end{array}
+	\right), \dots, \left(
+	\begin{array}{c}
+			0      \\
+			\vdots \\
+			0      \\
+			1
+		\end{array}
+	\right) \right\} \]
+
+\subsubsection{Austauschlemma}
+
+Ein Vektor einer Basis kann durch eine Linearkombination der anderen Vektoren ersetzt werden, falls in dieser Linearkombination dieser nicht null mal vorkommt.
+
+\subsection{Darstellungsmatrix}
+
+Eine Darstellungsmatrix $M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(F)$ ist eine Matrix, die die Koordinaten eines Vektors $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in der Basis $\mathcal{B}$ darstellt.
+
+Man erhält sie in dem man für jeden Vektor der Basis $\mathcal{A}$ $F(v_a)$ berechnet, als Linearkombination der Basis $\mathcal{B}$ beschreibt und die Koeffizienten in die Spalten der Matrix schreibt.
+
+\subsection{Transformationsmatrix}
+
+Eine Transformationsmatrix $T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}$ ist eine Matrix, die einen Vektor $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in die Basis $\mathcal{B}$ transformiert.
+
+\[ T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} = M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(\mathrm{id}_V) \]

Lineare Algebra/inhalt/12_Determinanten.tex

@@ -0,0 +1,53 @@
+\section{Determinanten}
+
+\subsection{Umformungen}
+Zeilen und Spalten erlaubt.
+
+\subsection{Multiplikation}
+Zeilen und Spalten erlaubt.\\
+Jedoch muss dann das Ergebnis mit $\frac{1}{\lambda}$ multipliziert werden.
+
+\subsection{Tauschen}
+Zeilen und Spalten erlaubt.\\
+Dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
+
+\subsection{Berechnen}
+
+Ist $A$ eine obere Dreiecksmatrix, also gilt
+\[ A = \begin{pmatrix}
+		\lambda_1 &        & (*)       \\
+		          & \ddots &           \\
+		0         &        & \lambda_n
+	\end{pmatrix}\]
+dann gilt $\det A =\prod_{i=1}^n \lambda_i = \lambda_1 \cdots \lambda_n$.
+
+Gibt es quadratische Matrizen $A_1$ und $A_2$, sodass gilt
+\[ A = \begin{pmatrix}
+		A_1 & C   \\
+		0   & A_2
+	\end{pmatrix}\]
+Dann gilt $\det A = \det (A_1) \cdot \det(A_2).$
+
+\subsection{Laplace'scher Entwicklungssatz}
+
+\[ A_{ij} =
+	\begin{pmatrix}
+		a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
+		\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
+		\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn}
+	\end{pmatrix}
+\]
+
+Entwicklung nach $i$-te Zeile: \[det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
+oder $j$-te Spalte \[det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
+Ist nun in der Spalte $j$ / Zeile $i$ alles außer $a_{ij}$ gleich $0$, so gilt
+\[\det A = (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
+
+\subsection{Satz von Sarrus}
+
+Für eine $2 \times 2$-Matrix \[ A = \begin{pmatrix}
+		a & b \\
+		c & d
+	\end{pmatrix}\] gilt $\det A = ad - bc$.

Lineare Algebra/inhalt/13_Diagonalisierung.tex

@@ -0,0 +1,29 @@
+\section{Diagonalisierung}
+
+\subsection{Charakteristisches Polynom}
+
+$\chi_{\text{char},M}(T) \coloneqq \mathrm{det}(T \cdot E_n - M)$
+
+Hat folgende Form:
+
+$\prod_{i=1}^n (T - \lambda_i) = (T - \lambda_1) \cdot ... \cdot (T - \lambda_n)$
+
+\subsection{Eigenwerte}
+
+Nullstellen des charakteristischen Polynoms
+
+$\chi_{\text{char},M}(\lambda) = 0$
+
+\subsection{Eigenräume}
+
+Um den Eigenraum zu einem Eigenwert $\lambda$ zu bestimmen, löse das homogene LGS:
+
+$\mathrm{Loes}(\lambda \cdot E_n - M, 0) = \mathrm{ker}(\lambda E_n - M)$
+
+\subsection{Diagonalisierbarkeit}
+
+Um eine Matrix $M_{n \times n}$ zu diagonalisieren, benötigt man $n$ linear unabhängige Eigenvektoren.
+
+Diese bilden die Spalten der Matrix $S^{-1}$.
+
+Die Diagonalmatrix $D$ enthält die Eigenwerte $\lambda_i$ auf der Diagonalen in der Reihenfolge der zugehörigen Eigenvektoren.

Lineare Algebra/main.tex

@@ -0,0 +1,84 @@
+\documentclass[10pt,landscape,a4paper]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage[LY1,T1]{fontenc}
+%\usepackage{frutigernext}
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+\let\bar\overline
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+\setlength{\parindent}{0pt}
+
+\begin{document}
+\small
+\begin{multicols*}{3}
+	\input{inhalt/02_Logik}
+	\input{inhalt/03_Mengen}
+	\input{inhalt/04_Abbildungen}
+	\input{inhalt/05_Relationen}
+	\input{inhalt/06_vollstaendigeInduktion}
+	\input{inhalt/07_Gruppen}
+	\input{inhalt/08_Ringe}
+	\input{inhalt/09_Vektorraeume}
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+	\input{inhalt/13_Diagonalisierung}
+\end{multicols*}
+\end{document}