commit b872f672aee1ce34aef12091f5970b5ea7fff36d Author: Dominik Stahl Date: Wed Mar 26 20:51:23 2025 +0100 add Digitaltechnik and Lineare Algebra diff --git a/Digitaltechnik/D_FF.png b/Digitaltechnik/D_FF.png new file mode 100644 index 0000000..bc7d34d Binary files /dev/null and b/Digitaltechnik/D_FF.png differ diff --git a/Digitaltechnik/JK_FF.png b/Digitaltechnik/JK_FF.png new file mode 100644 index 0000000..c3463c6 Binary files /dev/null and b/Digitaltechnik/JK_FF.png differ diff --git a/Digitaltechnik/TPS_RS_FF.png b/Digitaltechnik/TPS_RS_FF.png new file mode 100644 index 0000000..e55f700 Binary files /dev/null and b/Digitaltechnik/TPS_RS_FF.png differ diff --git a/Digitaltechnik/T_FF.png b/Digitaltechnik/T_FF.png new file mode 100644 index 0000000..878fea0 Binary files /dev/null and b/Digitaltechnik/T_FF.png differ diff --git a/Digitaltechnik/inhalt/00_Begriffe.tex b/Digitaltechnik/inhalt/00_Begriffe.tex new file mode 100644 index 0000000..2e7203c --- /dev/null +++ b/Digitaltechnik/inhalt/00_Begriffe.tex @@ -0,0 +1,5 @@ +\section{Begriffe} + +\textbf{Codierung:} Darstellung von Informationen mit Hilfe eines Symbols oder einer Symbolfolge, wobei die Symbole einem Alphabet entnommen sind \\ +\textbf{Alphabet:} endliche Mengen von Symbolen \\ +\textbf{Signal:} Physikalisch messbare Größe diff --git a/Digitaltechnik/inhalt/01_Codierung.tex b/Digitaltechnik/inhalt/01_Codierung.tex new file mode 100644 index 0000000..4522cde --- /dev/null +++ b/Digitaltechnik/inhalt/01_Codierung.tex @@ -0,0 +1,202 @@ +\section{Codierung} + +\subsection{Arten von Codierungen} + +\begin{itemize} + \item \textbf{Zeichencodierung:} Darstellung von Schriftzeichen + \item \textbf{Zahlencodierung:} Darstellung von Zahlenwerten + \item \textbf{Anwendungscodierung:} Darstellung von Informationen einer Anwendung + \item \textbf{Verschlüsselung:} Umcodierung, sodass die Daten nur mit zusätzlichen Informationen entschlüsselt werden können + \item \textbf{Komprimierung:} Reduzierung der Datenmenge durch Umcodierung + \item \textbf{Signalcodierung:} Darstellung abstrakter Info als \\Signal/Signalfolge +\end{itemize} + +\subsection{Zeichencodierung} + +\begin{itemize} + \item \textbf{ASCII:} 7-Bit-Zeichensatz, viele nationale Zeichen nicht enthalten + \item \textbf{ISO 8859-X:} 8-Bit-Zeichensatz, erweitert ASCII um nationale Zeichen + \item \textbf{Unicode:} 8/16/32-Bit-Zeichensatz, enthält fast alle Schriftzeichen, enthält Fortsetzungszeichen +\end{itemize} + +\subsection{Zahlencodierung} + +\subsubsection{Abzählsysteme} + +Jedes Symbol hat einen Symbolwert, aufaddieren der Symbolwerte ergibt den Zahlenwert. + +\subsubsection{Fingerabzählsystem} + +$A = \{\mathrm{Finger}\}$ \\ +$S(\mathrm{Finger}) = 1$ \\ +Wertebereich $[0, 10[$ \\ +Keine negativen Zahlen möglich, sehr einfach + +\subsubsection{Einfache Strichliste} + +$A = \{\mid\}$ \\ +$S(\mid) = 1$ \\ +Wertebereich $[0, \infty[$ \\ +Keine negativen Zahlen möglich, sehr einfach, keine Subtraktion möglich, Übersichtlich bis ca. $10$ + +\subsubsection{erweiterte Strichliste} + +$A = \{\mid, \cancel{\mid\mid\mid\mid}\}$ \\ +$S(\mid) = 1$ \\ +$S(\cancel{\mid\mid\mid\mid}) = 5$ \\ +Wertebereich $[0, \infty[$ \\ +Sortieren und zusammenfassen wenn möglich \\ +Keine negativen Zahlen möglich, einfach, keine Subtraktion möglich, Übersichtlich bis ca. $50$ + +\subsubsection{Römisches Zahlensystem} + +$A = \{I, V, X, L, C, D, M\}$ \\ +$S(I) = 1$ \\ +$S(V) = 5$ \\ +$S(X) = 10$ \\ +$S(L) = 50$ \\ +$S(C) = 100$ \\ +$S(D) = 500$ \\ +$S(M) = 1000$ \\ +Wertebereich $[0, 3999]$ \\ +Keine negativen Zahlen möglich, keine Subtraktion möglich, wenig verständlich, nicht einfach + +\subsection{Stellenwertsysteme} + +Gängige Stellenwertsysteme: + +\begin{itemize} + \item Dezimalsystem: Basis 10 + \item Binärsystem: Basis 2 + \item Oktalsystem: Basis 8 + \item Hexadezimalsystem: Basis 16 +\end{itemize} + +Darstellung von negativen Zahlen: + +\begin{itemize} + \item Vorzeichen und Betrag + \item Einerkomplement + \item Zweierkomplement +\end{itemize} + +Darstellung von Kommazahlen: + +\begin{itemize} + \item \textbf{Bruchdarstellung:} Unendlich viele Möglichkeiten + \item \textbf{Festkommadarstellung:} Feste Anzahl an Nachkommastellen (Verschiebung des Kommas) + \item \textbf{Gleitkommadarstellung:} Mantisse und Exponent +\end{itemize} + +\subsubsection{IEEE 754} + +Sign Bit $S$ statt 2er Komplement. Manitisse $M$ und Exponent $E$. \\ +$S \cdot M \cdot 2^E$ + +\paragraph{Normalisierte Darstellung} \ \\ +\textbf{Zwei Optionen:} \\ +Mantisse mit genau einer Ziffer vor dem Komma ODER +Manitisse mit $0$ vor dem Komma und erstem Nachkommastellenzeichen $1$ + +\paragraph{reservierte Bitmuster} \ \\ +Exponent $0$: keine Normalisierung, kein Hidden Bit $\to$ Exponent = 1 - Bias \\ +$\to$ Mantisse $0$: $\pm 0$ \\ +Exponent $2^e - 1$: Zahl nicht darstellbar \\ +$\to$ Mantisse $0$: $\pm \infty$ \\ +$\to$ Mantisste $\neq 0$: NaN + +\paragraph{Umrechnung} +\begin{enumerate} + \item Vorzeichen merken, weiter mit Betrag + \item Darstellung als Festkommazahl also Exponent (Basis 10) = 0 + \item Umrechnung als Festkommazahl ins Binärsystem (Mantisse (bei 16 Bit → 10) Stellen nach der 1. “1” berechnen) + \item Bestimmung von Exponent real durch Kommaverschiebung bei der Mantisse hinter die erste “1” (Normalisierung) + \item Bestimmung von Exponent gespeichert (Exponent reals + Bias) + \item Umrechnung Exponent gespeichert ins Binärsystem + \item Notation des Bitmusters (fehlende Stellen bei Exponent mit führenden “0”, bei Mantisse mit “0” am ende auffüllen, bei zu großen Zahlen → Bitmuster für Unendlich) +\end{enumerate} + +\subsubsection{Codierungsmethoden} + +\begin{itemize} + \item Wertecodierung: Wert wird insgesamt codiert + \item Zifferncodierng: Ziffern werden einzeln codiert +\end{itemize} + +\paragraph{BCD (Binary Coded Decimal)} \ \\ +4-Bit-Code für jede Dezimalziffer, 0-9 codiert, 1010-1111 reserviert + +\paragraph{Gray-Code} \ \\ +Wechsel nur einer Bitstelle bei aufeinanderfolgenden Zahlen, um lesefehler zu vermindern.\\ +Beginend mit $0\dots0$ je das rechteste Bit invertieren, sodass ein bislang nicht vorkommender Code entsteht. + +\subsection{Signalcodierung} + +Mögliche Signalarten: + +\begin{itemize} + \item elektrische Signale (z.B. in Computern verwendet) + \item optische Signale + \item mechanische Signale +\end{itemize} + +\subsubsection{NRZ (Non Return to Zero)} + +symmetrische oder single-ended Pegel \\ +Während eines Bitintervalls wird ein Signalpegel gehalten. + +\begin{itemize} + \item \textbf{TRG}: Bei jedem Pegelwechsel ist Taktrückgewinnung möglich + \item \textbf{GSF}: Nur bei symmetrischen Pegel und gleichverteiltung von 0 und 1 Gleichstromfrei. + \item \textbf{SSH}: Störsicherheit optimal, da nur 2 Pegel + \item \textbf{BBB}: Halbe Schrittweite, also optimaler Bandbreitenbedarf +\end{itemize} + +\subsubsection{RZ (Return to Zero)} + +symmetrische oder single-ended Pegel \\ +Während eines Bitintervalls wird ein Signalpegel gehalten, in der Mitte des Intervalls wird der Pegel auf 0 zurückgesetzt. + +\begin{itemize} + \item \textbf{TRG}: Bei jeder 1 ist Taktrückgewinnung möglich + \item \textbf{GSF}: in der Praxis nie Gleichstromfrei. + \item \textbf{SSH}: Störsicherheit optimal, da nur 2 Pegel + \item \textbf{BBB}: schlecht (vorallem bei vielen 1) +\end{itemize} + +\subsubsection{AMI (Alternate Mark Inversion)} + +symmetrische Pegel + 0-Pegel. \\ +Zwei Signalpegel für die $1$-Darstellung. \\ +Die beiden Signalpegel wechseln sich ab. + +\begin{itemize} + \item \textbf{TRG}: Bei jeder 1 ist Taktrückgewinnung möglich + \item \textbf{GSF}: nach jeder 2ten 1 Gleichstromfrei (in der Praxis immer) + \item \textbf{SSH}: Störsicherheit schlecht, da 3 Pegel + \item \textbf{BBB}: Halbe Schrittweite, also optimaler Bandbreitenbedarf +\end{itemize} + +\subsubsection{Manchester} + +symmetrische Pegel \\ +Darstellung eines Bits mithilfe eines Pegelwechsels in der Mitte des Bitintervalls.\\ +z.B. $0 \to 01$ und $1 \to 10$ + +\begin{itemize} + \item \textbf{TRG}: immer Taktrückgewinnung möglich + \item \textbf{GSF}: immer Gleichstromfrei + \item \textbf{SSH}: optimal, da nur 2 Pegel + \item \textbf{BBB}: schlecht +\end{itemize} + +\subsubsection{TRG ermöglichen} + +\begin{enumerate} + \item \textbf{Startbitsequenz}: \\ + Vor jedem Datenblock eine Startbitsequenz, die eine Taktrückgewinnung ermöglicht. + \item \textbf{Bit-Stuffing}: \\ + Wenn zu viele gleiche Bits hintereinander auftreten, wird ein zusätzliches Bit eingefügt. + \item \textbf{Blockcodierung}: \\ + Daten werden in Blöcke der länge n+1 umcodiert, die eine Taktrückgewinnung ermöglichen. +\end{enumerate} diff --git a/Digitaltechnik/inhalt/02_Boolsche_Algebra.tex b/Digitaltechnik/inhalt/02_Boolsche_Algebra.tex new file mode 100644 index 0000000..1b28986 --- /dev/null +++ b/Digitaltechnik/inhalt/02_Boolsche_Algebra.tex @@ -0,0 +1,10 @@ +\section{Boolsche Algebra} + +\subsection{Huntington-Axiome} + +\begin{enumerate} + \item \textbf{Kommmutativität}: $a \land b = b \land a$ und $a \lor b = b \lor a$ + \item \textbf{Distributivität}: $a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$ und $a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$ + \item \textbf{neutrales Element}: $a \land 1 = a$ und $a \lor 0 = a$ + \item \textbf{inverses Element}: $a \land \overline{a} = 0$ und $a \lor \overline{a} = 1$ +\end{enumerate} diff --git a/Digitaltechnik/inhalt/03_Schaltnetze.tex b/Digitaltechnik/inhalt/03_Schaltnetze.tex new file mode 100644 index 0000000..111aef7 --- /dev/null +++ b/Digitaltechnik/inhalt/03_Schaltnetze.tex @@ -0,0 +1,39 @@ +\section{Schaltnetze} + +Darstellung der Schaltalgebra als Graphen. \\ +\textbf{Knoten:} Gatter, stehen für logische Funktionen \\ +\textbf{Kanten:} Verbindungen zwischen den Gattern, stehen für die Ausführungsreihenfolge + +\subsection{Konventionen} + +\begin{itemize} + \item Negation eines Ein- oder Ausgangs durch einen kleinen Kreis + \item UND- und ODER-Gatter können beliebig viele Eingänge haben + \item von links nach rechts / von oben nach unten + \item Verzweigung durch einen kleinen ausgefüllten Kreis an der Verzweigungsstelle + \item Kreuzung von Leitungen erlaubt, wenn kein kleiner Kreis vorhanden ist +\end{itemize} + +\subsection{Aufwand} + +\textbf{HW-Aufwand:} Anzahl der Eingänge aller Gatter \\ +\textbf{Zeit-Aufwand:} Anzahl der Gatter, die ein Signal durchlaufen muss + +\subsection{Schaltnetzanalyse} + +\subsubsection{DNF (Disjunktive Normalform)} + +Bildung einer Disjunktion von Implikanten von $f$ mit möglichst wenig HW-Aufwand. \\ +Ein \textbf{Primimplikant} ist ein Implikant, der mit keinem anderen zusammengefasst werden kann. \\ +Eine \textbf{Disjunktive-Minimalform (DMF)} ist eine Disjunktion von Primimplikanten, die $f$ beschreibt. \\ +Ein \textbf{Kernprimimplikant} ist ein Primimplikant, welcher mindestens einen Minterm exklusiv enthält. + +\subsubsection{KNF (Konjunktive Normalform)} + +Bildung einer Konjunktion von Maxtermen von $f$ mit möglichst wenig HW-Aufwand. \\ +Ein \textbf{Primimplikat} ist ein Implikat, der mit keinem anderen zusammengefasst werden kann. \\ +Eine \textbf{Konjunktive-Minimalform (KMF)} ist eine Konjunktion von Primimplikatoren, die $f$ beschreibt. \\ +Ein \textbf{Kernprimimplikat} ist ein Primimplikat, welcher mindestens einen Maxterm exklusiv enthält. + +\subsubsection{KV-Diagramm} +Hiermit können Primimplikanten und DMF einfach gefunden werden. diff --git a/Digitaltechnik/inhalt/04_Schaltwerke.tex b/Digitaltechnik/inhalt/04_Schaltwerke.tex new file mode 100644 index 0000000..c15c925 --- /dev/null +++ b/Digitaltechnik/inhalt/04_Schaltwerke.tex @@ -0,0 +1,61 @@ +\section{Schaltwerke} + +Gleiche bestandteile wie Schaltnetze, aber Rückgekoppellungen möglich.\\ +Zustände/Speichervermögen durch Rückkopplung. + +\subsection{Schaltwerkanalyse} + +\begin{enumerate} + \item Aufstellen von Funktionstermen (für die Ausgänge) und entsprechender Wertetabelle, wobei die vormals rückgekoppelten Eingänge vor den unabhängigen (echten) Eingänge notiert werden. + \item Markieren der stabilen und instabilen Zeilen der WT, wobei bei instabilen Zeilen (mindestens) eine A-Belegung nicht mit der entsprechenden E-Belegung übereinstimmt. (Vergleich von A-Belegungen und E-Belegungen der rückgekoppelten Eingänge) + \item Bei instabilen Zeilen: Notation der Folgezeile, indem die E-Belegung durch die entsprechende A-Belegung ersetzt wird, bis entweder eine stabile Folgezeile oder ein Zyklus erreicht wird. + \item Benennen der Zustände des Schaltwerks anhand der Belegung der rückgekoppelten Eingänge + \item Aufstellen des Zustandsübergangsdiagramms, wobei die Zustandsübergänge durch die Belegung der unabhängigen (nicht rückgekoppelten) Eingänge bewirkt wird. + \item Verständnis für das Verhalten des Schaltwerkes herauslesen. +\end{enumerate} + +\subsection{Flip-Flops} + +\subsubsection{Taktsteuerung} + +\paragraph{TPS (Takt-Pegel-Steuerung)} \ \\ +Aktiv solange ein Taktpegel anliegt. + +\paragraph{TFS (Takt-Flanken-Steuerung)} \ \\ +Aktiv bei steigender oder fallender Flanke. + +\subsubsection{RS-Flip-Flop} + +\includegraphics[width=0.2\textwidth]{TPS_RS_FF.png} + +2 Eingänge: S (Set) und R (Reset) \\ +2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\ +Mit und ohne Takt: speichert \\ +Verbotene Zustände: S = R = 1 + +\subsubsection{D-Flip-Flop} + +\includegraphics[width=0.2\textwidth]{D_FF.png} + +1 Eingang: D (Data) \\ +2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\ +Ohne Takt: transparent, mit Takt: speichert \\ +Keine verbotenen Zustände + +\subsubsection{JK-Flip-Flop} + +\includegraphics[width=0.2\textwidth]{JK_FF.png} + +2 Eingänge: J und K \\ +2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\ +Mit und ohne Takt: speichert \\ +Keine verbotenen Zustände (J=K=1: Togglen) + +\subsubsection{T-Flip-Flop} + +\includegraphics[width=0.2\textwidth]{T_FF.png} + +1 Eingang: T (Toggle) \\ +2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\ +Nur mit TFS definiert \\ +Wechsel des Ausgangs bei steigender Flanke diff --git a/Digitaltechnik/inhalt/05_Halbleiterspeicher.tex b/Digitaltechnik/inhalt/05_Halbleiterspeicher.tex new file mode 100644 index 0000000..1f828a1 --- /dev/null +++ b/Digitaltechnik/inhalt/05_Halbleiterspeicher.tex @@ -0,0 +1,5 @@ +\section{Halbleiterspeicher} + +Speichern von Informationen mit einem Halbleiterbauelement (Kondensator). \\ +Nach jedem Lesen (Transistor verbaut, dass er nicht immer entladen ist) + regelmäßig wegen selbstentladung muss der Kondensator neu geladen werden. \\ +\textbf{HW-Aufwand:} 2 Transistoren pro Bit diff --git a/Digitaltechnik/main.tex b/Digitaltechnik/main.tex new file mode 100644 index 0000000..83a410f --- /dev/null +++ b/Digitaltechnik/main.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +\documentclass[10pt,landscape,a4paper]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage[LY1,T1]{fontenc} +%\usepackage{frutigernext} +%\usepackage[lf,minionint]{MinionPro} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{shapes,positioning,arrows,fit,calc,graphs,graphs.standard} +\usepackage[nosf]{kpfonts} +\usepackage[t1]{sourcesanspro} +\usepackage{multicol} +\usepackage{wrapfig} +\usepackage[top=4mm,bottom=4mm,left=4mm,right=4mm]{geometry} +\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} +\usepackage{microtype} +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{cancel} + +\let\bar\overline + +\definecolor{myblue}{cmyk}{1,.72,0,.38} + +\def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)} +\def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)} + +\colorlet{circle edge}{myblue} +\colorlet{circle area}{myblue!5} + +\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick}, + outline/.style={draw=circle edge, thick}} + +\pgfdeclarelayer{background} +\pgfsetlayers{background,main} + +\everymath\expandafter{\the\everymath \color{myblue}} +\everydisplay\expandafter{\the\everydisplay \color{myblue}} + +\renewcommand{\baselinestretch}{.8} +\pagestyle{empty} + +\global\mdfdefinestyle{header}{% +linecolor=gray,linewidth=1pt,% +leftmargin=4mm,rightmargin=4mm,skipbelow=4mm,skipabove=4mm, +} + +\newcommand{\header}{ +\begin{mdframed}[style=header] +\footnotesize +\sffamily +Cheat sheet\\ +by~Your~Name,~page~\thepage~of~2 +\end{mdframed} +} + +\makeatletter +\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}% + {.2ex}% + {.2ex}%x + {\color{myblue}\sffamily\small\bfseries}} +\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{1}{0mm}% + {.2ex}% + {.2ex}%x + {\sffamily\bfseries}} + +\makeatother +\setlength{\parindent}{0pt} + +\begin{document} +\small +\begin{multicols*}{3} + \input{inhalt/00_Begriffe} + \input{inhalt/01_Codierung} + \input{inhalt/02_Boolsche_Algebra} + \input{inhalt/03_Schaltnetze} + \input{inhalt/04_Schaltwerke} + \input{inhalt/05_Halbleiterspeicher} +\end{multicols*} +\end{document} diff --git a/Lineare Algebra/bijektiv.png b/Lineare Algebra/bijektiv.png new file mode 100644 index 0000000..3b0d8c1 Binary files /dev/null and b/Lineare Algebra/bijektiv.png differ diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/02_Logik.tex b/Lineare Algebra/inhalt/02_Logik.tex new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/03_Mengen.tex b/Lineare Algebra/inhalt/03_Mengen.tex new file mode 100644 index 0000000..505a1b8 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/03_Mengen.tex @@ -0,0 +1,7 @@ +\section{Mengen} + +\subsection{Zahlenmengen} + +\begin{center} + \includegraphics[scale=0.4]{Zahlenmengen.jpg} +\end{center} diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/04_Abbildungen.tex b/Lineare Algebra/inhalt/04_Abbildungen.tex new file mode 100644 index 0000000..a462ce2 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/04_Abbildungen.tex @@ -0,0 +1,106 @@ +\section{Abbildungen} + +\[ f: A \to B, a \mapsto f(a) = b\] + +\subsection{Bild} + +Alle Elemente von $B$, die durch $f$ erreicht werden: + +\[ im(f) = \{b \in B \mid \exists a \in A: f(a) = b\} \] + +\subsection{Urbild} + +Alle Elemente von $A$, die auf ein Element von $B$ abgebildet werden: + +\[ f^{-1}(b) = \{a \in A \mid f(a) = b\} \] + +\subsection{Identität} + +Jedes Element wird auf sich selbst abgebildet: + +\[ \mathrm{id}_A: A \to A, a \mapsto a \] + +\subsection{Eigenschaften} + +\subsubsection{Injektiv} + +\begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=0.4,ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] + \node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,4) {}; + \node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,3) {}; + \node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,2) {}; + \node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,1) {}; + + + \node[ele,,label=right:$1$] (b1) at (4,5) {}; + \node[ele,,label=right:$2$] (b2) at (4,4) {}; + \node[ele,,label=right:$3$] (b3) at (4,3) {}; + \node[ele,,label=right:$4$] (b4) at (4,2) {}; + \node[ele,,label=right:$5$] (b5) at (4,1) {}; + + + \node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4),minimum width=2cm] {} ; + \node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4) (b5),minimum width=2cm] {} ; + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a1) -- (b4); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b3); + \end{tikzpicture} +\end{center} + +\subsubsection{Surjektiv} + +\begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=0.4,ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] + \node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,5) {}; + \node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,4) {}; + \node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,3) {}; + \node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,2) {}; + \node[ele,label=left:$e$] (a5) at (0,1) {}; + + + \node[ele,,label=right:$1$] (b1) at (4,5) {}; + \node[ele,,label=right:$2$] (b2) at (4,4) {}; + \node[ele,,label=right:$3$] (b3) at (4,3) {}; + \node[ele,,label=right:$4$] (b4) at (4,2) {}; + + + + \node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4) (a5),minimum width=2cm] {} ; + \node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=2cm] {} ; + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a1) -- (b4); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b3); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a5) -- (b1); + \end{tikzpicture} +\end{center} + +\subsubsection{Bijektiv} + +\begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=0.4,ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] + \node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,5) {}; + \node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,4) {}; + \node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,3) {}; + \node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,2) {}; + \node[ele,label=left:$e$] (a5) at (0,1) {}; + + + \node[ele,,label=right:$1$] (b1) at (4,5) {}; + \node[ele,,label=right:$2$] (b2) at (4,4) {}; + \node[ele,,label=right:$3$] (b3) at (4,3) {}; + \node[ele,,label=right:$4$] (b4) at (4,2) {}; + \node[ele,,label=right:$5$] (b5) at (4,1) {}; + + + + \node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4) (a5),minimum width=2cm] {} ; + \node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4) (b5),minimum width=2cm] {} ; + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a1) -- (b3); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b5); + \draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a5) -- (b4); + \end{tikzpicture} +\end{center} diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/05_Relationen.tex b/Lineare Algebra/inhalt/05_Relationen.tex new file mode 100644 index 0000000..50ee578 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/05_Relationen.tex @@ -0,0 +1,24 @@ +\section{Relationen} + +\subsection{Äquivalenzrelationen} + +\begin{itemize} + \item \textbf{Reflexivität}: $x \sim x$ für alle $x \in R$ + \item \textbf{Symmetrie}: $x \sim y \in R \Rightarrow y \sim x \in R$ + \item \textbf{Transitivität}: $x \sim y \in R \land y \sim z \in R \Rightarrow x \sim z \in R$ +\end{itemize} + +\subsection{Ordnungsrelationen} + +\begin{itemize} + \item \textbf{Antisymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \in R \Rightarrow x = y$ + \item \textbf{Reflexiv} + \item \textbf{Transitiv} +\end{itemize} + +\subsection{strikte Ordnungsrelationen} + +\begin{itemize} + \item \textbf{Asymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \notin R$ + \item \textbf{Tansitivität} +\end{itemize} diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/06_vollstaendigeInduktion.tex b/Lineare Algebra/inhalt/06_vollstaendigeInduktion.tex new file mode 100644 index 0000000..7a27de1 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/06_vollstaendigeInduktion.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\section{Vollständige Induktion} + +$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}$$ + +\emph{Induktionsanfang:}\\ +Für $n=1$ gilt +\[ \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.\] +Die Behauptung ist also wahr für $n=1$.\\ +\emph{Induktionsschritt:}\\ +Sei die Behauptung nun wahr für ein $n \in \mathbb{N}$. Dann erhalten wir +\begin{align*} + \sum_{k=1}^{n+1} k & = \sum_{k=1}^n k + (n+1) \\ + & = \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1) \\ + & = \frac{n^2+n+2n+2}{2} \\ + & = \frac{(n+1)(n+2)}{2} +\end{align*} +Die Aussage gilt also auch für $n+1$. diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/07_Gruppen.tex b/Lineare Algebra/inhalt/07_Gruppen.tex new file mode 100644 index 0000000..e5ec798 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/07_Gruppen.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +\section{Gruppen} + +\subsection{Eigenschaften} + +\begin{itemize} + \item Es gibt ein neutrales Element $e \in G$. + \item Es gibt zu jedem $g \in G$ ein Inverses $g^{-1} \in G$. + \item Die Gruppenoperation ist assoziativ. +\end{itemize} + +Gilt zusätzlich $a \cdot b = b \cdot a$, so ist die Gruppe kommutativ oder abelsch. + +\subsection{Untergruppen} + +\begin{itemize} + \item $H \neq \emptyset$ + \item $\forall h, h' \in H: h \cdot h' \in H$ + \item $\forall h \in H: h^{-1} \in H$ +\end{itemize} + +Das neutrale Element befindet sich in jeder Untergruppe. + +\subsection{Homomorphismen} + +Es gilt: + +$\varphi(a * b) = \varphi(a) \circ \varphi(b)$ \\ +$\varphi(e_G) = e_H$ \\ +$\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$ + +\subsection{Verknüpfungstafel} + +$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:\\ +\begin{tabular}{c||c|c} + + & 0 & 1 \\ \hline \hline + 0 & 0 & 1 \\ \hline + 1 & 1 & 0 +\end{tabular} diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/08_Ringe.tex b/Lineare Algebra/inhalt/08_Ringe.tex new file mode 100644 index 0000000..58c5759 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/08_Ringe.tex @@ -0,0 +1,20 @@ +\section{Ringe} + +\begin{itemize} + \item $(R, +)$ ist eine abelsche Gruppe + \item $(R, \cdot)$ ist assoziativ + \item Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ +\end{itemize} + +\textbf{Heißt je, wenn} \\ +Ring mit Eins: $\exists 1 \in R: 1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ \\ +kommutativ: $a \cdot b = b \cdot a$ \\ +nullteilerfrei: $a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0 \lor b = 0$ + +\section{Körper} + +\begin{itemize} + \item $(K, +)$ ist eine abelsche Gruppe + \item $(K \setminus \{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche Gruppe + \item Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ +\end{itemize} diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/09_Vektorraeume.tex b/Lineare Algebra/inhalt/09_Vektorraeume.tex new file mode 100644 index 0000000..9a56313 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/09_Vektorraeume.tex @@ -0,0 +1,28 @@ +\section{Vektorräume} + +\subsection{Untervektorraum} + +\begin{itemize} + \item $W \neq \emptyset$ + \item $\forall v, w \in W: v + w \in W$ + \item $\forall v \in W, \lambda \in K: \lambda v \in W$ +\end{itemize} + +Der Schnitt von Untervektorräumen ist wieder ein Untervektorraum. + +\subsection{Lineare Hülle} +Oder auch Erzeugnis genannt. +Ist ein Untervektorraum, der alle Linearkombinationen von $v_1, \dots, v_n$ enthält. + +\[ \mathrm{lin}(v_1, \dots, v_n) = \left\{ \sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \mid \lambda_k \in K \right\} \] + +\subsection{Lineare Unabhängigkeit} + +Eine Familie von Vektoren $v_1, \dots, v_n$ ist linear unabhängig, wenn gilt: + +\[\mathrm{kern}(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n) = 0_V\] + +es lässt sich also jeder darstellbare Vektor eindeutig als Linearkombination der anderen darstellen. + +Sollte eine Lineare Hülle als Ergbenis entstehen, so sind die Vektoren linear abhängig. + diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/10_LineareAbbildungen.tex b/Lineare Algebra/inhalt/10_LineareAbbildungen.tex new file mode 100644 index 0000000..7483cd6 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/10_LineareAbbildungen.tex @@ -0,0 +1,30 @@ +\section{Lineare Abbildungen} + +\[ f: V \to W \] + +\subsection{Isomorphismus} + +$f$ ist bijektiv. + +\subsection{Endomorphismus} + +$f: V \to V$ bzw. $V = W$. + +\subsection{Automorphismus} + +Sowohl Endomorphismus als auch Isomorphismus. + +\subsection{Eigenschaften} + +\begin{itemize} + \item $f(0) = 0$ + \item $f(v-v') = f(v) - f(v')$ + \item $f(\lambda v) = \lambda f(v)$ + \item $V' \subseteq V \Rightarrow f(V') \subseteq W$ +\end{itemize} + +\subsection{Bild und Kern} + +Bild: $f(V) = \{w \in W \mid \exists v \in V: f(v) = w\}$ + +Kern: $f^{-1}(0) = \{v \in V \mid f(v) = 0\}$ diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/11_Matrizen.tex b/Lineare Algebra/inhalt/11_Matrizen.tex new file mode 100644 index 0000000..2d54da8 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/11_Matrizen.tex @@ -0,0 +1,103 @@ +\section{Matrizen} + +\subsection{Einheitsmatrix} + +\[ E_n = \begin{pmatrix} + 1 & & & & \\ + & \ddots & & & \\ + & & 1 & & \\ + & & & \ddots & \\ + & & & & 1 + \end{pmatrix} \] + +\subsection{Addition} + +\[ + M + N \coloneqq (m_{ij} + n_{ij})_{ij} +\] + +\subsection{Skalarmultiplikation} + +\[ + \lambda \cdot M \coloneqq (\lambda \cdot m_{ij})_{ij} +\] + +\subsection{Zeilenstufenform} + +Nur nullen unter der Diagonalen. (soweit möglich) + +\subsection{Strenge Zeilenstufenform} + +Nullen unter und über der Diagonalen. (soweit möglich)\\ +Auf der Diagonalen nur Einsen. + +\subsection{Lineare Gleichungssysteme} + +Umformen in strenge Zeilenstufenform.\\ +Eventuell Nullzeilen einfügen, wenn Stufen fehlen.\\ +Auf fehlende Stufen eine $-1$ setzen.\\ +Die Lösungsmenge ist dann die Lineare Hülle der Spalten in die eine $-1$ gesetzt wurde, plus der Lösungsvektor. + +\[ + \mathrm{Loes} = \mathrm{lin}( + \left( + \begin{array}{c} + \lambda_1 \\ + \vdots \\ + \lambda_n + \end{array} + \right), \dots, \left( + \begin{array}{c} + \lambda_1 \\ + \vdots \\ + \lambda_n + \end{array} + \right)) + \left( + \begin{array}{c} + \lambda_1 \\ + \vdots \\ + \lambda_n + \end{array} + \right) +\] + +\subsection{Basen} + +\begin{itemize} + \item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Basis, wenn $B$ linear unabhängig ist und $\mathrm{lin}(B) = V$. + \item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Erzeugendensystem, wenn $\mathrm{lin}(B) = V$. (Muss nicht linear unabhängig sein) +\end{itemize} + +Die Einheitsbasis ist die Basis + +\[ E = \left\{ \left( + \begin{array}{c} + 1 \\ + 0 \\ + \vdots \\ + 0 + \end{array} + \right), \dots, \left( + \begin{array}{c} + 0 \\ + \vdots \\ + 0 \\ + 1 + \end{array} + \right) \right\} \] + +\subsubsection{Austauschlemma} + +Ein Vektor einer Basis kann durch eine Linearkombination der anderen Vektoren ersetzt werden, falls in dieser Linearkombination dieser nicht null mal vorkommt. + +\subsection{Darstellungsmatrix} + +Eine Darstellungsmatrix $M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(F)$ ist eine Matrix, die die Koordinaten eines Vektors $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in der Basis $\mathcal{B}$ darstellt. + +Man erhält sie in dem man für jeden Vektor der Basis $\mathcal{A}$ $F(v_a)$ berechnet, als Linearkombination der Basis $\mathcal{B}$ beschreibt und die Koeffizienten in die Spalten der Matrix schreibt. + +\subsection{Transformationsmatrix} + +Eine Transformationsmatrix $T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}$ ist eine Matrix, die einen Vektor $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in die Basis $\mathcal{B}$ transformiert. + +\[ T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} = M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(\mathrm{id}_V) \] diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/12_Determinanten.tex b/Lineare Algebra/inhalt/12_Determinanten.tex new file mode 100644 index 0000000..711dad3 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/12_Determinanten.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +\section{Determinanten} + +\subsection{Umformungen} +Zeilen und Spalten erlaubt. + +\subsection{Multiplikation} +Zeilen und Spalten erlaubt.\\ +Jedoch muss dann das Ergebnis mit $\frac{1}{\lambda}$ multipliziert werden. + +\subsection{Tauschen} +Zeilen und Spalten erlaubt.\\ +Dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante. + +\subsection{Berechnen} + +Ist $A$ eine obere Dreiecksmatrix, also gilt +\[ A = \begin{pmatrix} + \lambda_1 & & (*) \\ + & \ddots & \\ + 0 & & \lambda_n + \end{pmatrix}\] +dann gilt $\det A =\prod_{i=1}^n \lambda_i = \lambda_1 \cdots \lambda_n$. + +Gibt es quadratische Matrizen $A_1$ und $A_2$, sodass gilt +\[ A = \begin{pmatrix} + A_1 & C \\ + 0 & A_2 + \end{pmatrix}\] +Dann gilt $\det A = \det (A_1) \cdot \det(A_2).$ + +\subsection{Laplace'scher Entwicklungssatz} + +\[ A_{ij} = + \begin{pmatrix} + a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ + \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ + \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} + \end{pmatrix} +\] + +Entwicklung nach $i$-te Zeile: \[det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\] +oder $j$-te Spalte \[det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\] +Ist nun in der Spalte $j$ / Zeile $i$ alles außer $a_{ij}$ gleich $0$, so gilt +\[\det A = (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}\] + +\subsection{Satz von Sarrus} + +Für eine $2 \times 2$-Matrix \[ A = \begin{pmatrix} + a & b \\ + c & d + \end{pmatrix}\] gilt $\det A = ad - bc$. diff --git a/Lineare Algebra/inhalt/13_Diagonalisierung.tex b/Lineare Algebra/inhalt/13_Diagonalisierung.tex new file mode 100644 index 0000000..eccb587 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/inhalt/13_Diagonalisierung.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +\section{Diagonalisierung} + +\subsection{Charakteristisches Polynom} + +$\chi_{\text{char},M}(T) \coloneqq \mathrm{det}(T \cdot E_n - M)$ + +Hat folgende Form: + +$\prod_{i=1}^n (T - \lambda_i) = (T - \lambda_1) \cdot ... \cdot (T - \lambda_n)$ + +\subsection{Eigenwerte} + +Nullstellen des charakteristischen Polynoms + +$\chi_{\text{char},M}(\lambda) = 0$ + +\subsection{Eigenräume} + +Um den Eigenraum zu einem Eigenwert $\lambda$ zu bestimmen, löse das homogene LGS: + +$\mathrm{Loes}(\lambda \cdot E_n - M, 0) = \mathrm{ker}(\lambda E_n - M)$ + +\subsection{Diagonalisierbarkeit} + +Um eine Matrix $M_{n \times n}$ zu diagonalisieren, benötigt man $n$ linear unabhängige Eigenvektoren. + +Diese bilden die Spalten der Matrix $S^{-1}$. + +Die Diagonalmatrix $D$ enthält die Eigenwerte $\lambda_i$ auf der Diagonalen in der Reihenfolge der zugehörigen Eigenvektoren. diff --git a/Lineare Algebra/injektiv.png b/Lineare Algebra/injektiv.png new file mode 100644 index 0000000..7cd978a Binary files /dev/null and b/Lineare Algebra/injektiv.png differ diff --git a/Lineare Algebra/main.tex b/Lineare Algebra/main.tex new file mode 100644 index 0000000..466e428 --- /dev/null +++ b/Lineare Algebra/main.tex @@ -0,0 +1,84 @@ +\documentclass[10pt,landscape,a4paper]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage[LY1,T1]{fontenc} +%\usepackage{frutigernext} +%\usepackage[lf,minionint]{MinionPro} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{shapes,positioning,arrows,fit,calc,graphs,graphs.standard} +\usepackage[nosf]{kpfonts} +\usepackage[t1]{sourcesanspro} +\usepackage{multicol} +\usepackage{wrapfig} +\usepackage[top=4mm,bottom=4mm,left=4mm,right=4mm]{geometry} +\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} +\usepackage{microtype} +\usepackage{pdfpages} + +\let\bar\overline + +\definecolor{myblue}{cmyk}{1,.72,0,.38} + +\def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)} +\def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)} + +\colorlet{circle edge}{myblue} +\colorlet{circle area}{myblue!5} + +\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick}, + outline/.style={draw=circle edge, thick}} + +\pgfdeclarelayer{background} +\pgfsetlayers{background,main} + +\everymath\expandafter{\the\everymath \color{myblue}} +\everydisplay\expandafter{\the\everydisplay \color{myblue}} + +\renewcommand{\baselinestretch}{.8} +\pagestyle{empty} + +\global\mdfdefinestyle{header}{% +linecolor=gray,linewidth=1pt,% +leftmargin=4mm,rightmargin=4mm,skipbelow=4mm,skipabove=4mm, +} + +\newcommand{\header}{ +\begin{mdframed}[style=header] +\footnotesize +\sffamily +Cheat sheet\\ +by~Your~Name,~page~\thepage~of~2 +\end{mdframed} +} + +\makeatletter +\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}% + {.2ex}% + {.2ex}%x + {\color{myblue}\sffamily\small\bfseries}} +\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{1}{0mm}% + {.2ex}% + {.2ex}%x + {\sffamily\bfseries}} + +\makeatother +\setlength{\parindent}{0pt} + +\begin{document} +\small +\begin{multicols*}{3} + \input{inhalt/02_Logik} + \input{inhalt/03_Mengen} + \input{inhalt/04_Abbildungen} + \input{inhalt/05_Relationen} + \input{inhalt/06_vollstaendigeInduktion} + \input{inhalt/07_Gruppen} + \input{inhalt/08_Ringe} + \input{inhalt/09_Vektorraeume} + \input{inhalt/10_LineareAbbildungen} + \input{inhalt/11_Matrizen} + \input{inhalt/12_Determinanten} + \input{inhalt/13_Diagonalisierung} +\end{multicols*} +\end{document} diff --git a/Lineare Algebra/surjektiv.png b/Lineare Algebra/surjektiv.png new file mode 100644 index 0000000..c33555d Binary files /dev/null and b/Lineare Algebra/surjektiv.png differ