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1.5 KiB
TeX
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\section{Determinanten}
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\subsection{Umformungen}
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Zeilen und Spalten erlaubt.
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\subsection{Multiplikation}
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Zeilen und Spalten erlaubt.\\
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Jedoch muss dann das Ergebnis mit $\frac{1}{\lambda}$ multipliziert werden.
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\subsection{Tauschen}
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Zeilen und Spalten erlaubt.\\
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Dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
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\subsection{Berechnen}
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Ist $A$ eine obere Dreiecksmatrix, also gilt
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\[ A = \begin{pmatrix}
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\lambda_1 & & (*) \\
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& \ddots & \\
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0 & & \lambda_n
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\end{pmatrix}\]
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dann gilt $\det A =\prod_{i=1}^n \lambda_i = \lambda_1 \cdots \lambda_n$.
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Gibt es quadratische Matrizen $A_1$ und $A_2$, sodass gilt
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\[ A = \begin{pmatrix}
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A_1 & C \\
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0 & A_2
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\end{pmatrix}\]
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Dann gilt $\det A = \det (A_1) \cdot \det(A_2).$
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\subsection{Laplace'scher Entwicklungssatz}
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\[ A_{ij} =
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\begin{pmatrix}
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a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
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\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
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\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn}
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\end{pmatrix}
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\]
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Entwicklung nach $i$-te Zeile: \[det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
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oder $j$-te Spalte \[det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
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Ist nun in der Spalte $j$ / Zeile $i$ alles außer $a_{ij}$ gleich $0$, so gilt
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\[\det A = (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
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\subsection{Satz von Sarrus}
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Für eine $2 \times 2$-Matrix \[ A = \begin{pmatrix}
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a & b \\
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c & d
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\end{pmatrix}\] gilt $\det A = ad - bc$.
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