29 lines
849 B
TeX
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\section{Diagonalisierung}
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\subsection{Charakteristisches Polynom}
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$\chi_{\text{char},M}(T) \coloneqq \mathrm{det}(T \cdot E_n - M)$
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Hat folgende Form:
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$\prod_{i=1}^n (T - \lambda_i) = (T - \lambda_1) \cdot ... \cdot (T - \lambda_n)$
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\subsection{Eigenwerte}
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Nullstellen des charakteristischen Polynoms
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$\chi_{\text{char},M}(\lambda) = 0$
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\subsection{Eigenräume}
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Um den Eigenraum zu einem Eigenwert $\lambda$ zu bestimmen, löse das homogene LGS:
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$\mathrm{Loes}(\lambda \cdot E_n - M, 0) = \mathrm{ker}(\lambda E_n - M)$
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\subsection{Diagonalisierbarkeit}
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Um eine Matrix $M_{n \times n}$ zu diagonalisieren, benötigt man $n$ linear unabhängige Eigenvektoren.
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Diese bilden die Spalten der Matrix $S^{-1}$.
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Die Diagonalmatrix $D$ enthält die Eigenwerte $\lambda_i$ auf der Diagonalen in der Reihenfolge der zugehörigen Eigenvektoren.
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