\section{Diagonalisierung}

\subsection{Charakteristisches Polynom}

$\chi_{\text{char},M}(T) \coloneqq \mathrm{det}(T \cdot E_n - M)$

Hat folgende Form:

$\prod_{i=1}^n (T - \lambda_i) = (T - \lambda_1) \cdot ... \cdot (T - \lambda_n)$

\subsection{Eigenwerte}

Nullstellen des charakteristischen Polynoms

$\chi_{\text{char},M}(\lambda) = 0$

\subsection{Eigenräume}

Um den Eigenraum zu einem Eigenwert $\lambda$ zu bestimmen, löse das homogene LGS:

$\mathrm{Loes}(\lambda \cdot E_n - M, 0) = \mathrm{ker}(\lambda E_n - M)$

\subsection{Diagonalisierbarkeit}

Um eine Matrix $M_{n \times n}$ zu diagonalisieren, benötigt man $n$ linear unabhängige Eigenvektoren.

Diese bilden die Spalten der Matrix $S^{-1}$.

Die Diagonalmatrix $D$ enthält die Eigenwerte $\lambda_i$ auf der Diagonalen in der Reihenfolge der zugehörigen Eigenvektoren.