103 lines
2.6 KiB
TeX
103 lines
2.6 KiB
TeX
\section{Matrizen}
|
|
|
|
\subsection{Einheitsmatrix}
|
|
|
|
\[ E_n = \begin{pmatrix}
|
|
1 & & & & \\
|
|
& \ddots & & & \\
|
|
& & 1 & & \\
|
|
& & & \ddots & \\
|
|
& & & & 1
|
|
\end{pmatrix} \]
|
|
|
|
\subsection{Addition}
|
|
|
|
\[
|
|
M + N \coloneqq (m_{ij} + n_{ij})_{ij}
|
|
\]
|
|
|
|
\subsection{Skalarmultiplikation}
|
|
|
|
\[
|
|
\lambda \cdot M \coloneqq (\lambda \cdot m_{ij})_{ij}
|
|
\]
|
|
|
|
\subsection{Zeilenstufenform}
|
|
|
|
Nur nullen unter der Diagonalen. (soweit möglich)
|
|
|
|
\subsection{Strenge Zeilenstufenform}
|
|
|
|
Nullen unter und über der Diagonalen. (soweit möglich)\\
|
|
Auf der Diagonalen nur Einsen.
|
|
|
|
\subsection{Lineare Gleichungssysteme}
|
|
|
|
Umformen in strenge Zeilenstufenform.\\
|
|
Eventuell Nullzeilen einfügen, wenn Stufen fehlen.\\
|
|
Auf fehlende Stufen eine $-1$ setzen.\\
|
|
Die Lösungsmenge ist dann die Lineare Hülle der Spalten in die eine $-1$ gesetzt wurde, plus der Lösungsvektor.
|
|
|
|
\[
|
|
\mathrm{Loes} = \mathrm{lin}(
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{c}
|
|
\lambda_1 \\
|
|
\vdots \\
|
|
\lambda_n
|
|
\end{array}
|
|
\right), \dots, \left(
|
|
\begin{array}{c}
|
|
\lambda_1 \\
|
|
\vdots \\
|
|
\lambda_n
|
|
\end{array}
|
|
\right)) + \left(
|
|
\begin{array}{c}
|
|
\lambda_1 \\
|
|
\vdots \\
|
|
\lambda_n
|
|
\end{array}
|
|
\right)
|
|
\]
|
|
|
|
\subsection{Basen}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Basis, wenn $B$ linear unabhängig ist und $\mathrm{lin}(B) = V$.
|
|
\item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Erzeugendensystem, wenn $\mathrm{lin}(B) = V$. (Muss nicht linear unabhängig sein)
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Die Einheitsbasis ist die Basis
|
|
|
|
\[ E = \left\{ \left(
|
|
\begin{array}{c}
|
|
1 \\
|
|
0 \\
|
|
\vdots \\
|
|
0
|
|
\end{array}
|
|
\right), \dots, \left(
|
|
\begin{array}{c}
|
|
0 \\
|
|
\vdots \\
|
|
0 \\
|
|
1
|
|
\end{array}
|
|
\right) \right\} \]
|
|
|
|
\subsubsection{Austauschlemma}
|
|
|
|
Ein Vektor einer Basis kann durch eine Linearkombination der anderen Vektoren ersetzt werden, falls in dieser Linearkombination dieser nicht null mal vorkommt.
|
|
|
|
\subsection{Darstellungsmatrix}
|
|
|
|
Eine Darstellungsmatrix $M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(F)$ ist eine Matrix, die die Koordinaten eines Vektors $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in der Basis $\mathcal{B}$ darstellt.
|
|
|
|
Man erhält sie in dem man für jeden Vektor der Basis $\mathcal{A}$ $F(v_a)$ berechnet, als Linearkombination der Basis $\mathcal{B}$ beschreibt und die Koeffizienten in die Spalten der Matrix schreibt.
|
|
|
|
\subsection{Transformationsmatrix}
|
|
|
|
Eine Transformationsmatrix $T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}$ ist eine Matrix, die einen Vektor $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in die Basis $\mathcal{B}$ transformiert.
|
|
|
|
\[ T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} = M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(\mathrm{id}_V) \]
|