\section{Matrizen}

\subsection{Einheitsmatrix}

\[ E_n = \begin{pmatrix}
		1 &        &   &        &   \\
		  & \ddots &   &        &   \\
		  &        & 1 &        &   \\
		  &        &   & \ddots &   \\
		  &        &   &        & 1
	\end{pmatrix} \]

\subsection{Addition}

\[
	M + N \coloneqq (m_{ij} + n_{ij})_{ij}
\]

\subsection{Skalarmultiplikation}

\[
	\lambda \cdot M \coloneqq (\lambda \cdot m_{ij})_{ij}
\]

\subsection{Zeilenstufenform}

Nur nullen unter der Diagonalen. (soweit möglich)

\subsection{Strenge Zeilenstufenform}

Nullen unter und über der Diagonalen. (soweit möglich)\\
Auf der Diagonalen nur Einsen.

\subsection{Lineare Gleichungssysteme}

Umformen in strenge Zeilenstufenform.\\
Eventuell Nullzeilen einfügen, wenn Stufen fehlen.\\
Auf fehlende Stufen eine $-1$ setzen.\\
Die Lösungsmenge ist dann die Lineare Hülle der Spalten in die eine $-1$ gesetzt wurde, plus der Lösungsvektor.

\[
	\mathrm{Loes} = \mathrm{lin}(
	\left(
	\begin{array}{c}
			\lambda_1 \\
			\vdots    \\
			\lambda_n
		\end{array}
	\right), \dots, \left(
	\begin{array}{c}
			\lambda_1 \\
			\vdots    \\
			\lambda_n
		\end{array}
	\right)) + \left(
	\begin{array}{c}
			\lambda_1 \\
			\vdots    \\
			\lambda_n
		\end{array}
	\right)
\]

\subsection{Basen}

\begin{itemize}
	\item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Basis, wenn $B$ linear unabhängig ist und $\mathrm{lin}(B) = V$.
	\item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Erzeugendensystem, wenn $\mathrm{lin}(B) = V$. (Muss nicht linear unabhängig sein)
\end{itemize}

Die Einheitsbasis ist die Basis

\[ E = \left\{ \left(
	\begin{array}{c}
			1      \\
			0      \\
			\vdots \\
			0
		\end{array}
	\right), \dots, \left(
	\begin{array}{c}
			0      \\
			\vdots \\
			0      \\
			1
		\end{array}
	\right) \right\} \]

\subsubsection{Austauschlemma}

Ein Vektor einer Basis kann durch eine Linearkombination der anderen Vektoren ersetzt werden, falls in dieser Linearkombination dieser nicht null mal vorkommt.

\subsection{Darstellungsmatrix}

Eine Darstellungsmatrix $M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(F)$ ist eine Matrix, die die Koordinaten eines Vektors $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in der Basis $\mathcal{B}$ darstellt.

Man erhält sie in dem man für jeden Vektor der Basis $\mathcal{A}$ $F(v_a)$ berechnet, als Linearkombination der Basis $\mathcal{B}$ beschreibt und die Koeffizienten in die Spalten der Matrix schreibt.

\subsection{Transformationsmatrix}

Eine Transformationsmatrix $T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}$ ist eine Matrix, die einen Vektor $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in die Basis $\mathcal{B}$ transformiert.

\[ T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} = M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(\mathrm{id}_V) \]