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Lineare Algebra/inhalt/12_Determinanten.tex

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+\section{Determinanten}
+
+\subsection{Umformungen}
+Zeilen und Spalten erlaubt.
+
+\subsection{Multiplikation}
+Zeilen und Spalten erlaubt.\\
+Jedoch muss dann das Ergebnis mit $\frac{1}{\lambda}$ multipliziert werden.
+
+\subsection{Tauschen}
+Zeilen und Spalten erlaubt.\\
+Dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
+
+\subsection{Berechnen}
+
+Ist $A$ eine obere Dreiecksmatrix, also gilt
+\[ A = \begin{pmatrix}
+		\lambda_1 &        & (*)       \\
+		          & \ddots &           \\
+		0         &        & \lambda_n
+	\end{pmatrix}\]
+dann gilt $\det A =\prod_{i=1}^n \lambda_i = \lambda_1 \cdots \lambda_n$.
+
+Gibt es quadratische Matrizen $A_1$ und $A_2$, sodass gilt
+\[ A = \begin{pmatrix}
+		A_1 & C   \\
+		0   & A_2
+	\end{pmatrix}\]
+Dann gilt $\det A = \det (A_1) \cdot \det(A_2).$
+
+\subsection{Laplace'scher Entwicklungssatz}
+
+\[ A_{ij} =
+	\begin{pmatrix}
+		a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
+		\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
+		\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn}
+	\end{pmatrix}
+\]
+
+Entwicklung nach $i$-te Zeile: \[det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
+oder $j$-te Spalte \[det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
+Ist nun in der Spalte $j$ / Zeile $i$ alles außer $a_{ij}$ gleich $0$, so gilt
+\[\det A = (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
+
+\subsection{Satz von Sarrus}
+
+Für eine $2 \times 2$-Matrix \[ A = \begin{pmatrix}
+		a & b \\
+		c & d
+	\end{pmatrix}\] gilt $\det A = ad - bc$.