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Lineare Algebra/inhalt/11_Matrizen.tex

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+\section{Matrizen}
+
+\subsection{Einheitsmatrix}
+
+\[ E_n = \begin{pmatrix}
+		1 &        &   &        &   \\
+		  & \ddots &   &        &   \\
+		  &        & 1 &        &   \\
+		  &        &   & \ddots &   \\
+		  &        &   &        & 1
+	\end{pmatrix} \]
+
+\subsection{Addition}
+
+\[
+	M + N \coloneqq (m_{ij} + n_{ij})_{ij}
+\]
+
+\subsection{Skalarmultiplikation}
+
+\[
+	\lambda \cdot M \coloneqq (\lambda \cdot m_{ij})_{ij}
+\]
+
+\subsection{Zeilenstufenform}
+
+Nur nullen unter der Diagonalen. (soweit möglich)
+
+\subsection{Strenge Zeilenstufenform}
+
+Nullen unter und über der Diagonalen. (soweit möglich)\\
+Auf der Diagonalen nur Einsen.
+
+\subsection{Lineare Gleichungssysteme}
+
+Umformen in strenge Zeilenstufenform.\\
+Eventuell Nullzeilen einfügen, wenn Stufen fehlen.\\
+Auf fehlende Stufen eine $-1$ setzen.\\
+Die Lösungsmenge ist dann die Lineare Hülle der Spalten in die eine $-1$ gesetzt wurde, plus der Lösungsvektor.
+
+\[
+	\mathrm{Loes} = \mathrm{lin}(
+	\left(
+	\begin{array}{c}
+			\lambda_1 \\
+			\vdots    \\
+			\lambda_n
+		\end{array}
+	\right), \dots, \left(
+	\begin{array}{c}
+			\lambda_1 \\
+			\vdots    \\
+			\lambda_n
+		\end{array}
+	\right)) + \left(
+	\begin{array}{c}
+			\lambda_1 \\
+			\vdots    \\
+			\lambda_n
+		\end{array}
+	\right)
+\]
+
+\subsection{Basen}
+
+\begin{itemize}
+	\item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Basis, wenn $B$ linear unabhängig ist und $\mathrm{lin}(B) = V$.
+	\item Eine Menge von Vektoren $B$ heißt Erzeugendensystem, wenn $\mathrm{lin}(B) = V$. (Muss nicht linear unabhängig sein)
+\end{itemize}
+
+Die Einheitsbasis ist die Basis
+
+\[ E = \left\{ \left(
+	\begin{array}{c}
+			1      \\
+			0      \\
+			\vdots \\
+			0
+		\end{array}
+	\right), \dots, \left(
+	\begin{array}{c}
+			0      \\
+			\vdots \\
+			0      \\
+			1
+		\end{array}
+	\right) \right\} \]
+
+\subsubsection{Austauschlemma}
+
+Ein Vektor einer Basis kann durch eine Linearkombination der anderen Vektoren ersetzt werden, falls in dieser Linearkombination dieser nicht null mal vorkommt.
+
+\subsection{Darstellungsmatrix}
+
+Eine Darstellungsmatrix $M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(F)$ ist eine Matrix, die die Koordinaten eines Vektors $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in der Basis $\mathcal{B}$ darstellt.
+
+Man erhält sie in dem man für jeden Vektor der Basis $\mathcal{A}$ $F(v_a)$ berechnet, als Linearkombination der Basis $\mathcal{B}$ beschreibt und die Koeffizienten in die Spalten der Matrix schreibt.
+
+\subsection{Transformationsmatrix}
+
+Eine Transformationsmatrix $T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}$ ist eine Matrix, die einen Vektor $v$ der Basis $\mathcal{A}$ in die Basis $\mathcal{B}$ transformiert.
+
+\[ T^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} = M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(\mathrm{id}_V) \]