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.gitignore

@@ -0,0 +1,4 @@
+*.*
+!.gitignore
+!*.tex
+!*.png

Digitaltechnik/inhalt/04_Schaltwerke.tex

@@ -26,7 +26,7 @@ Aktiv bei steigender oder fallender Flanke.
 
 \subsubsection{RS-Flip-Flop}
 
-\includegraphics[width=0.2\textwidth]{TPS_RS_FF.png}
+\includegraphics[width=0.2\textwidth]{images/TPS_RS_FF.png}
 
 2 Eingänge: S (Set) und R (Reset) \\
 2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\
@@ -35,7 +35,7 @@ Verbotene Zustände: S = R = 1
 
 \subsubsection{D-Flip-Flop}
 
-\includegraphics[width=0.2\textwidth]{D_FF.png}
+\includegraphics[width=0.2\textwidth]{images/D_FF.png}
 
 1 Eingang: D (Data) \\
 2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\
@@ -44,7 +44,7 @@ Keine verbotenen Zustände
 
 \subsubsection{JK-Flip-Flop}
 
-\includegraphics[width=0.2\textwidth]{JK_FF.png}
+\includegraphics[width=0.2\textwidth]{images/JK_FF.png}
 
 2 Eingänge: J und K \\
 2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\
@@ -53,7 +53,7 @@ Keine verbotenen Zustände (J=K=1: Togglen)
 
 \subsubsection{T-Flip-Flop}
 
-\includegraphics[width=0.2\textwidth]{T_FF.png}
+\includegraphics[width=0.2\textwidth]{images/T_FF.png}
 
 1 Eingang: T (Toggle) \\
 2 Ausgänge: Q und Q* (Q negiert) \\

Theoretische Informatik 1/inhalt/01_Logik.tex

@@ -0,0 +1,63 @@
+\section{Logik}
+
+\subsection{Logische Ausdrücke}
+
+Logische Ausdrücke aufstellen aus gegebenen Aussagen.
+
+Wahrheitstabellen aufstellen.
+
+Vereinfachung von logischen Ausdrücken.
+
+\subsection{Logisches Schließen}
+
+Logisches Schließen mit Hilfe von Regeln in Tabellarischer oder Textform.
+
+\subsubsection{Regeln}
+
+\begin{tabular}{l | l}
+  II  & Induzierte Implikation               \\
+  IE  & Implikation Elimination              \\
+  K   & Konjunktion                          \\
+  KL  & Konjunktion Links                    \\
+  KR  & Konjunktion Rechts                   \\
+  D   & Disjunktion                          \\
+  DL  & Disjunktion Links                    \\
+  DR  & Disjunktion Rechts                   \\
+  F   & Falsch                               \\
+  TND & Tertium non datur ($A \lor \lnot A$) \\
+  AE  & Allquantor Elimination               \\
+  AI  & Induzierter Allquantor               \\
+  EI  & Existenzquantor Implikation          \\
+  EE  & Existenzquantor Elimination
+\end{tabular}
+
+\subsection{Prädikatenlogik}
+
+Prädikatenlogische Ausdrücke aufstellen, negieren, relationen.
+
+\subsubsection{Relationen}
+$\forall x : \forall y : P(x,y) \Leftrightarrow \forall y : \forall x : P(x,y)$
+$\exists x : \exists y : P(x,y) \Leftrightarrow \exists y : \exists x : P(x,y)$
+
+$\exists x : \forall y : P(x,y) \Rightarrow \forall y : \exists x : P(x,y)$
+
+$\lnot \forall x : P(x) \Leftrightarrow \exists x : \lnot P(x)$
+$\lnot \exists x : P(x) \Leftrightarrow \forall x : \lnot P(x)$
+
+\subsection{Vollständige Induktion}
+
+\[
+  \sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}
+\]
+
+\emph{Induktionsanfang:}\\
+Für $n=1$ gilt
+\[ \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
+Die Behauptung ist also wahr für $n=1$.\\
+\emph{Induktionsschritt:}\\
+Sei die Behauptung nun wahr für ein $n \in \mathbb{N}$. Dann erhalten wir
+
+$$\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^n k + (n+1) = \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1)$$
+$$= \frac{n^2+n+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$
+
+Die Aussage gilt also auch für $n+1$.

Theoretische Informatik 1/inhalt/02_Relationen.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\section{Relationen}
+
+\subsection{Äquivlanzrelationen}
+
+\begin{itemize}
+  \item \textbf{Reflexivität}: $x \sim x$ für alle $x \in R$
+  \item \textbf{Symmetrie}: $x \sim y \in R \Rightarrow y \sim x \in R$
+  \item \textbf{Transitivität}: $x \sim y \in R \land y \sim z \in R \Rightarrow x \sim z \in R$
+\end{itemize}
+
+\subsection{Ordnungsrelationen}
+
+\begin{itemize}
+  \item \textbf{Antisymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \in R \Rightarrow x = y$
+  \item \textbf{Reflexivität}
+  \item \textbf{Transitivität}
+\end{itemize}
+
+\subsection{strikte Ordnungsrelationen}
+
+\begin{itemize}
+  \item \textbf{Asymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \notin R$
+  \item \textbf{Transitivität}
+\end{itemize}
+
+\subsection{Kleinste und Größte Elemente}
+
+\textbf{Kleinstes Element}: $x \in M$ ist kleinstes Element, wenn $\forall y \in M : x \leq y$ (Ein Element, das nur links in den Tupeln auftaucht) \\
+\textbf{Minimale Elemente}: $x \in M$ ist minimal, wenn $\nexists y \in M : y < x$ (Alle Elemente, die nur links in den Tupeln auftauchen) \\
+\textbf{Größtes Element}: $x \in M$ ist größtes Element, wenn $\forall y \in M : x \geq y$ (Ein Element, das nur rechts in den Tupeln auftaucht) \\
+\textbf{Maximale Elemente}: $x \in M$ ist maximal, wenn $\nexists y \in M : y > x$ (Alle Elemente, die nur rechts in den Tupeln auftauchen)
+
+\subsection{Äquivalenzklassen}
+
+\textbf{Äquivalenzklasse}: $[x] = \{y \in M | x \sim y\}$ (Alle elemente, die $x$ links im Tupel stehen haben) \\
+\textbf{Äquivalenzrelation}: $x \sim y \Leftrightarrow [x] = [y]$ \\
+\textbf{Menge der Äquivalenzklassen}: $R / M = \{[x] | x \in M\}$ (Keine Duplikate)

Theoretische Informatik 1/inhalt/03_Algorithmen.tex

@@ -0,0 +1,84 @@
+\section{Algorithmen}
+
+\subsection{Teilsummenproblem}
+
+Ist ein NP-vollständiges Problem.
+
+Jede Zahl darf nur einmal verwendet werden.
+In der Summe muss eine bestimmte Zahl erreicht werden.
+
+\subsection{3-SAT Problem}
+
+Ist ein NP-vollständiges Problem.
+
+Finden einer Belegung an Variablen, sodass eine Formel erfüllt wird.
+
+Die Formel hat die Form:
+
+\[
+  (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (x_4 \lor x_5 \lor x_6) \land \ldots
+\]
+
+\subsubsection{Umwandlung in Teilsummenproblem}
+
+Zielzahl:
+\[
+  1 \dots 1 \ 4 \dots 4
+\]
+mit $1$ für jede Variable und $4$ für jede Klausel (Klammer).
+
+Zahlen aus denen die Summe gebildet wird:
+
+\textbf{1. Teil}: 1 an der Stelle der Variable, 0 ansonsten
+
+\textbf{2. Teil}: 1 an der Stelle an der Die Variable in der Klausen positiv/negativ vorkommt, 0 ansonsten
+
+\begin{tabular}{c | l | l}
+  Variable & positive Belegung                 & negative Belegung                 \\
+           & (1er wenn positiv)                & (1er wenn negativ)                \\
+  \hline
+  $x_1$    & $0 \dots 001 \ pos_1 \dots pos_n$ & $0 \dots 001 \ neg_1 \dots neg_n$ \\
+  $x_2$    & $0 \dots 010 \ pos_1 \dots pos_n$ & $0 \dots 010 \ neg_1 \dots neg_n$ \\
+  $x_3$    & $0 \dots 100 \ pos_1 \dots pos_n$ & $0 \dots 100 \ neg_1 \dots neg_n$ \\
+  \dots    & \dots                             & \dots
+\end{tabular}
+
+\subsection{Programmablaufplan}
+
+\subsubsection{Allgemeinheit}
+Löst eine Klasse von Problemen.
+
+\subsubsection{Ausführbarkeit}
+Jeder Schritt ist ausführbar.
+
+\subsubsection{Determinismus}
+Jeder Schritt ist eindeutig, unabängig von Ein und Ausgaben.
+
+\subsubsection{Determiniertheit}
+Bei gleichen Eingaben, gleiche Ausgaben.
+
+\subsubsection{Finitheit}
+Beschreibung besitzt endliche Länge.
+
+\subsubsection{Terminierung}
+Die Ausführung endet bei einer endlichen Eingabe
+
+\subsubsection{Dynamische Finitheit}
+Beschränkter Resourcenverbrauch bei endlicher Eingabe.
+
+\subsubsection{Komplexität}
+Die Laufzeit / Resourcenverbrauch ist abschätzbar.
+
+\subsection{Hoare-Kalkül}
+
+\subsubsection{Vorbedingung}
+Bedingung die vor der Ausführung der Zeile gelten muss.
+
+\subsubsection{Nachbedingung}
+Bedingung die nach der Ausführung der Zeile gelten muss.
+
+\subsubsection{Schleifenbedingung}
+Bedingung die vor jedem Schleifendurchlauf gelten muss.
+
+\subsubsection{Schleifeninvariante}
+Bedingung die vor und nach jedem Schleifendurchlauf gelten muss.

Theoretische Informatik 1/inhalt/04_Deklarative_Programmierung.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\section{Deklarative Programmierung}
+
+\subsection{Ausdrucksbäume}
+
+Umwandlung von Ausdrücken in Bäume.
+
+\subsection{Unifizierung}
+
+Wahl von Variablen, sodass zwei Ausdrücke gleich sind.
+
+\subsection{Prolog}
+
+Umsetzen von Problemen in Prolog.
+
+\subsection{Haskell}
+
+Umsetzen von Problemen in Haskell.
+
+Typen eines Ausdrucks angeben.

Theoretische Informatik 1/main.tex

@@ -0,0 +1,76 @@
+\documentclass[10pt,landscape,a4paper]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage[LY1,T1]{fontenc}
+%\usepackage{frutigernext}
+%\usepackage[lf,minionint]{MinionPro}
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+\usetikzlibrary{shapes,positioning,arrows,fit,calc,graphs,graphs.standard}
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+\let\bar\overline
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+\begin{document}
+\small
+\begin{multicols*}{3}
+	\input{inhalt/01_Logik}
+	\input{inhalt/02_Relationen}
+	\input{inhalt/03_Algorithmen}
+	\input{inhalt/04_Deklarative_Programmierung}
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+\end{document}