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\section{Logik}
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\subsection{Logische Ausdrücke}
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Logische Ausdrücke aufstellen aus gegebenen Aussagen.
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Wahrheitstabellen aufstellen.
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Vereinfachung von logischen Ausdrücken.
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\subsection{Logisches Schließen}
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Logisches Schließen mit Hilfe von Regeln in Tabellarischer oder Textform.
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\subsubsection{Regeln}
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\begin{tabular}{l | l}
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II & Induzierte Implikation \\
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IE & Implikation Elimination \\
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K & Konjunktion \\
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KL & Konjunktion Links \\
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KR & Konjunktion Rechts \\
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D & Disjunktion \\
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DL & Disjunktion Links \\
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DR & Disjunktion Rechts \\
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F & Falsch \\
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TND & Tertium non datur ($A \lor \lnot A$) \\
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AE & Allquantor Elimination \\
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AI & Induzierter Allquantor \\
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EI & Existenzquantor Implikation \\
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EE & Existenzquantor Elimination
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\end{tabular}
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\subsection{Prädikatenlogik}
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Prädikatenlogische Ausdrücke aufstellen, negieren, relationen.
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\subsubsection{Relationen}
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$\forall x : \forall y : P(x,y) \Leftrightarrow \forall y : \forall x : P(x,y)$
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$\exists x : \exists y : P(x,y) \Leftrightarrow \exists y : \exists x : P(x,y)$
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$\exists x : \forall y : P(x,y) \Rightarrow \forall y : \exists x : P(x,y)$
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$\lnot \forall x : P(x) \Leftrightarrow \exists x : \lnot P(x)$
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$\lnot \exists x : P(x) \Leftrightarrow \forall x : \lnot P(x)$
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\subsection{Vollständige Induktion}
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\[
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\sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}
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\]
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\emph{Induktionsanfang:}\\
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Für $n=1$ gilt
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\[ \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
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Die Behauptung ist also wahr für $n=1$.\\
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\emph{Induktionsschritt:}\\
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Sei die Behauptung nun wahr für ein $n \in \mathbb{N}$. Dann erhalten wir
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$$\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^n k + (n+1) = \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1)$$
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$$= \frac{n^2+n+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$
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Die Aussage gilt also auch für $n+1$.
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