\section{Logik}

\subsection{Logische Ausdrücke}

Logische Ausdrücke aufstellen aus gegebenen Aussagen.

Wahrheitstabellen aufstellen.

Vereinfachung von logischen Ausdrücken.

\subsection{Logisches Schließen}

Logisches Schließen mit Hilfe von Regeln in Tabellarischer oder Textform.

\subsubsection{Regeln}

\begin{tabular}{l | l}
  II  & Induzierte Implikation               \\
  IE  & Implikation Elimination              \\
  K   & Konjunktion                          \\
  KL  & Konjunktion Links                    \\
  KR  & Konjunktion Rechts                   \\
  D   & Disjunktion                          \\
  DL  & Disjunktion Links                    \\
  DR  & Disjunktion Rechts                   \\
  F   & Falsch                               \\
  TND & Tertium non datur ($A \lor \lnot A$) \\
  AE  & Allquantor Elimination               \\
  AI  & Induzierter Allquantor               \\
  EI  & Existenzquantor Implikation          \\
  EE  & Existenzquantor Elimination
\end{tabular}

\subsection{Prädikatenlogik}

Prädikatenlogische Ausdrücke aufstellen, negieren, relationen.

\subsubsection{Relationen}
$\forall x : \forall y : P(x,y) \Leftrightarrow \forall y : \forall x : P(x,y)$
$\exists x : \exists y : P(x,y) \Leftrightarrow \exists y : \exists x : P(x,y)$

$\exists x : \forall y : P(x,y) \Rightarrow \forall y : \exists x : P(x,y)$

$\lnot \forall x : P(x) \Leftrightarrow \exists x : \lnot P(x)$
$\lnot \exists x : P(x) \Leftrightarrow \forall x : \lnot P(x)$

\subsection{Vollständige Induktion}

\[
  \sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}
\]

\emph{Induktionsanfang:}\\
Für $n=1$ gilt
\[ \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
Die Behauptung ist also wahr für $n=1$.\\
\emph{Induktionsschritt:}\\
Sei die Behauptung nun wahr für ein $n \in \mathbb{N}$. Dann erhalten wir

$$\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^n k + (n+1) = \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1)$$
$$= \frac{n^2+n+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

Die Aussage gilt also auch für $n+1$.