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Theoretische Informatik 1/inhalt/01_Logik.tex

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+\section{Logik}
+
+\subsection{Logische Ausdrücke}
+
+Logische Ausdrücke aufstellen aus gegebenen Aussagen.
+
+Wahrheitstabellen aufstellen.
+
+Vereinfachung von logischen Ausdrücken.
+
+\subsection{Logisches Schließen}
+
+Logisches Schließen mit Hilfe von Regeln in Tabellarischer oder Textform.
+
+\subsubsection{Regeln}
+
+\begin{tabular}{l | l}
+  II  & Induzierte Implikation               \\
+  IE  & Implikation Elimination              \\
+  K   & Konjunktion                          \\
+  KL  & Konjunktion Links                    \\
+  KR  & Konjunktion Rechts                   \\
+  D   & Disjunktion                          \\
+  DL  & Disjunktion Links                    \\
+  DR  & Disjunktion Rechts                   \\
+  F   & Falsch                               \\
+  TND & Tertium non datur ($A \lor \lnot A$) \\
+  AE  & Allquantor Elimination               \\
+  AI  & Induzierter Allquantor               \\
+  EI  & Existenzquantor Implikation          \\
+  EE  & Existenzquantor Elimination
+\end{tabular}
+
+\subsection{Prädikatenlogik}
+
+Prädikatenlogische Ausdrücke aufstellen, negieren, relationen.
+
+\subsubsection{Relationen}
+$\forall x : \forall y : P(x,y) \Leftrightarrow \forall y : \forall x : P(x,y)$
+$\exists x : \exists y : P(x,y) \Leftrightarrow \exists y : \exists x : P(x,y)$
+
+$\exists x : \forall y : P(x,y) \Rightarrow \forall y : \exists x : P(x,y)$
+
+$\lnot \forall x : P(x) \Leftrightarrow \exists x : \lnot P(x)$
+$\lnot \exists x : P(x) \Leftrightarrow \forall x : \lnot P(x)$
+
+\subsection{Vollständige Induktion}
+
+\[
+  \sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}
+\]
+
+\emph{Induktionsanfang:}\\
+Für $n=1$ gilt
+\[ \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
+Die Behauptung ist also wahr für $n=1$.\\
+\emph{Induktionsschritt:}\\
+Sei die Behauptung nun wahr für ein $n \in \mathbb{N}$. Dann erhalten wir
+
+$$\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^n k + (n+1) = \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1)$$
+$$= \frac{n^2+n+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$
+
+Die Aussage gilt also auch für $n+1$.