28 lines
901 B
TeX
28 lines
901 B
TeX
\section{Vektorräume}
|
|
|
|
\subsection{Untervektorraum}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $W \neq \emptyset$
|
|
\item $\forall v, w \in W: v + w \in W$
|
|
\item $\forall v \in W, \lambda \in K: \lambda v \in W$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Der Schnitt von Untervektorräumen ist wieder ein Untervektorraum.
|
|
|
|
\subsection{Lineare Hülle}
|
|
Oder auch Erzeugnis genannt.
|
|
Ist ein Untervektorraum, der alle Linearkombinationen von $v_1, \dots, v_n$ enthält.
|
|
|
|
\[ \mathrm{lin}(v_1, \dots, v_n) = \left\{ \sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \mid \lambda_k \in K \right\} \]
|
|
|
|
\subsection{Lineare Unabhängigkeit}
|
|
|
|
Eine Familie von Vektoren $v_1, \dots, v_n$ ist linear unabhängig, wenn gilt:
|
|
|
|
\[\mathrm{kern}(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n) = 0_V\]
|
|
|
|
es lässt sich also jeder darstellbare Vektor eindeutig als Linearkombination der anderen darstellen.
|
|
|
|
Sollte eine Lineare Hülle als Ergbenis entstehen, so sind die Vektoren linear abhängig.
|
|
|