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Lineare Algebra/inhalt/09_Vektorraeume.tex

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+\section{Vektorräume}
+
+\subsection{Untervektorraum}
+
+\begin{itemize}
+	\item $W \neq \emptyset$
+	\item $\forall v, w \in W: v + w \in W$
+	\item $\forall v \in W, \lambda \in K: \lambda v \in W$
+\end{itemize}
+
+Der Schnitt von Untervektorräumen ist wieder ein Untervektorraum.
+
+\subsection{Lineare Hülle}
+Oder auch Erzeugnis genannt.
+Ist ein Untervektorraum, der alle Linearkombinationen von $v_1, \dots, v_n$ enthält.
+
+\[ \mathrm{lin}(v_1, \dots, v_n) = \left\{ \sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \mid \lambda_k \in K \right\} \]
+
+\subsection{Lineare Unabhängigkeit}
+
+Eine Familie von Vektoren $v_1, \dots, v_n$ ist linear unabhängig, wenn gilt:
+
+\[\mathrm{kern}(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n) = 0_V\]
+
+es lässt sich also jeder darstellbare Vektor eindeutig als Linearkombination der anderen darstellen.
+
+Sollte eine Lineare Hülle als Ergbenis entstehen, so sind die Vektoren linear abhängig.
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