add Digitaltechnik and Lineare Algebra

Digitaltechnik/inhalt/01_Codierung.tex

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+\section{Codierung}
+
+\subsection{Arten von Codierungen}
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Zeichencodierung:} Darstellung von Schriftzeichen
+	\item \textbf{Zahlencodierung:} Darstellung von Zahlenwerten
+	\item \textbf{Anwendungscodierung:} Darstellung von Informationen einer Anwendung
+	\item \textbf{Verschlüsselung:} Umcodierung, sodass die Daten nur mit zusätzlichen Informationen entschlüsselt werden können
+	\item \textbf{Komprimierung:} Reduzierung der Datenmenge durch Umcodierung
+	\item \textbf{Signalcodierung:} Darstellung abstrakter Info als \\Signal/Signalfolge
+\end{itemize}
+
+\subsection{Zeichencodierung}
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{ASCII:} 7-Bit-Zeichensatz, viele nationale Zeichen nicht enthalten
+	\item \textbf{ISO 8859-X:} 8-Bit-Zeichensatz, erweitert ASCII um nationale Zeichen
+	\item \textbf{Unicode:} 8/16/32-Bit-Zeichensatz, enthält fast alle Schriftzeichen, enthält Fortsetzungszeichen
+\end{itemize}
+
+\subsection{Zahlencodierung}
+
+\subsubsection{Abzählsysteme}
+
+Jedes Symbol hat einen Symbolwert, aufaddieren der Symbolwerte ergibt den Zahlenwert.
+
+\subsubsection{Fingerabzählsystem}
+
+$A = \{\mathrm{Finger}\}$ \\
+$S(\mathrm{Finger}) = 1$ \\
+Wertebereich $[0, 10[$ \\
+Keine negativen Zahlen möglich, sehr einfach
+
+\subsubsection{Einfache Strichliste}
+
+$A = \{\mid\}$ \\
+$S(\mid) = 1$ \\
+Wertebereich $[0, \infty[$ \\
+Keine negativen Zahlen möglich, sehr einfach, keine Subtraktion möglich, Übersichtlich bis ca. $10$
+
+\subsubsection{erweiterte Strichliste}
+
+$A = \{\mid, \cancel{\mid\mid\mid\mid}\}$ \\
+$S(\mid) = 1$ \\
+$S(\cancel{\mid\mid\mid\mid}) = 5$ \\
+Wertebereich $[0, \infty[$ \\
+Sortieren und zusammenfassen wenn möglich \\
+Keine negativen Zahlen möglich, einfach, keine Subtraktion möglich, Übersichtlich bis ca. $50$
+
+\subsubsection{Römisches Zahlensystem}
+
+$A = \{I, V, X, L, C, D, M\}$ \\
+$S(I) = 1$ \\
+$S(V) = 5$ \\
+$S(X) = 10$ \\
+$S(L) = 50$ \\
+$S(C) = 100$ \\
+$S(D) = 500$ \\
+$S(M) = 1000$ \\
+Wertebereich $[0, 3999]$ \\
+Keine negativen Zahlen möglich, keine Subtraktion möglich, wenig verständlich, nicht einfach
+
+\subsection{Stellenwertsysteme}
+
+Gängige Stellenwertsysteme:
+
+\begin{itemize}
+	\item Dezimalsystem: Basis 10
+	\item Binärsystem: Basis 2
+	\item Oktalsystem: Basis 8
+	\item Hexadezimalsystem: Basis 16
+\end{itemize}
+
+Darstellung von negativen Zahlen:
+
+\begin{itemize}
+	\item Vorzeichen und Betrag
+	\item Einerkomplement
+	\item Zweierkomplement
+\end{itemize}
+
+Darstellung von Kommazahlen:
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Bruchdarstellung:} Unendlich viele Möglichkeiten
+	\item \textbf{Festkommadarstellung:} Feste Anzahl an Nachkommastellen (Verschiebung des Kommas)
+	\item \textbf{Gleitkommadarstellung:} Mantisse und Exponent
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{IEEE 754}
+
+Sign Bit $S$ statt 2er Komplement. Manitisse $M$ und Exponent $E$. \\
+$S \cdot M \cdot 2^E$
+
+\paragraph{Normalisierte Darstellung} \ \\
+\textbf{Zwei Optionen:} \\
+Mantisse mit genau einer Ziffer vor dem Komma ODER
+Manitisse mit $0$ vor dem Komma und erstem Nachkommastellenzeichen $1$
+
+\paragraph{reservierte Bitmuster} \ \\
+Exponent $0$: keine Normalisierung, kein Hidden Bit $\to$ Exponent = 1 - Bias \\
+$\to$ Mantisse $0$: $\pm 0$ \\
+Exponent $2^e - 1$: Zahl nicht darstellbar \\
+$\to$ Mantisse $0$: $\pm \infty$ \\
+$\to$ Mantisste $\neq 0$: NaN
+
+\paragraph{Umrechnung}
+\begin{enumerate}
+	\item Vorzeichen merken, weiter mit Betrag
+	\item Darstellung als Festkommazahl also Exponent (Basis 10) = 0
+	\item Umrechnung als Festkommazahl ins Binärsystem (Mantisse (bei 16 Bit → 10) Stellen nach der 1. “1” berechnen)
+	\item Bestimmung von Exponent real durch Kommaverschiebung bei der Mantisse hinter die erste “1” (Normalisierung)
+	\item Bestimmung von Exponent gespeichert (Exponent reals + Bias)
+	\item Umrechnung Exponent gespeichert ins Binärsystem
+	\item Notation des Bitmusters (fehlende Stellen bei Exponent mit führenden “0”, bei Mantisse mit “0” am ende auffüllen, bei zu großen Zahlen → Bitmuster für Unendlich)
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection{Codierungsmethoden}
+
+\begin{itemize}
+	\item Wertecodierung: Wert wird insgesamt codiert
+	\item Zifferncodierng: Ziffern werden einzeln codiert
+\end{itemize}
+
+\paragraph{BCD (Binary Coded Decimal)} \ \\
+4-Bit-Code für jede Dezimalziffer, 0-9 codiert, 1010-1111 reserviert
+
+\paragraph{Gray-Code} \ \\
+Wechsel nur einer Bitstelle bei aufeinanderfolgenden Zahlen, um lesefehler zu vermindern.\\
+Beginend mit $0\dots0$ je das rechteste Bit invertieren, sodass ein bislang nicht vorkommender Code entsteht.
+
+\subsection{Signalcodierung}
+
+Mögliche Signalarten:
+
+\begin{itemize}
+	\item elektrische Signale (z.B. in Computern verwendet)
+	\item optische Signale
+	\item mechanische Signale
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{NRZ (Non Return to Zero)}
+
+symmetrische oder single-ended Pegel \\
+Während eines Bitintervalls wird ein Signalpegel gehalten.
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{TRG}: Bei jedem Pegelwechsel ist Taktrückgewinnung möglich
+	\item \textbf{GSF}: Nur bei symmetrischen Pegel und gleichverteiltung von 0 und 1 Gleichstromfrei.
+	\item \textbf{SSH}: Störsicherheit optimal, da nur 2 Pegel
+	\item \textbf{BBB}: Halbe Schrittweite, also optimaler Bandbreitenbedarf
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{RZ (Return to Zero)}
+
+symmetrische oder single-ended Pegel \\
+Während eines Bitintervalls wird ein Signalpegel gehalten, in der Mitte des Intervalls wird der Pegel auf 0 zurückgesetzt.
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{TRG}: Bei jeder 1 ist Taktrückgewinnung möglich
+	\item \textbf{GSF}: in der Praxis nie Gleichstromfrei.
+	\item \textbf{SSH}: Störsicherheit optimal, da nur 2 Pegel
+	\item \textbf{BBB}: schlecht (vorallem bei vielen 1)
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{AMI (Alternate Mark Inversion)}
+
+symmetrische Pegel + 0-Pegel. \\
+Zwei Signalpegel für die $1$-Darstellung. \\
+Die beiden Signalpegel wechseln sich ab.
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{TRG}: Bei jeder 1 ist Taktrückgewinnung möglich
+	\item \textbf{GSF}: nach jeder 2ten 1 Gleichstromfrei (in der Praxis immer)
+	\item \textbf{SSH}: Störsicherheit schlecht, da 3 Pegel
+	\item \textbf{BBB}: Halbe Schrittweite, also optimaler Bandbreitenbedarf
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Manchester}
+
+symmetrische Pegel \\
+Darstellung eines Bits mithilfe eines Pegelwechsels in der Mitte des Bitintervalls.\\
+z.B. $0 \to 01$ und $1 \to 10$
+
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{TRG}: immer Taktrückgewinnung möglich
+	\item \textbf{GSF}: immer Gleichstromfrei
+	\item \textbf{SSH}: optimal, da nur 2 Pegel
+	\item \textbf{BBB}: schlecht
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{TRG ermöglichen}
+
+\begin{enumerate}
+	\item \textbf{Startbitsequenz}: \\
+	      Vor jedem Datenblock eine Startbitsequenz, die eine Taktrückgewinnung ermöglicht.
+	\item \textbf{Bit-Stuffing}: \\
+	      Wenn zu viele gleiche Bits hintereinander auftreten, wird ein zusätzliches Bit eingefügt.
+	\item \textbf{Blockcodierung}: \\
+	      Daten werden in Blöcke der länge n+1 umcodiert, die eine Taktrückgewinnung ermöglichen.
+\end{enumerate}