\section{Vektorräume}

\subsection{Untervektorraum}

\begin{itemize}
	\item $W \neq \emptyset$
	\item $\forall v, w \in W: v + w \in W$
	\item $\forall v \in W, \lambda \in K: \lambda v \in W$
\end{itemize}

Der Schnitt von Untervektorräumen ist wieder ein Untervektorraum.

\subsection{Lineare Hülle}
Oder auch Erzeugnis genannt.
Ist ein Untervektorraum, der alle Linearkombinationen von $v_1, \dots, v_n$ enthält.

\[ \mathrm{lin}(v_1, \dots, v_n) = \left\{ \sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \mid \lambda_k \in K \right\} \]

\subsection{Lineare Unabhängigkeit}

Eine Familie von Vektoren $v_1, \dots, v_n$ ist linear unabhängig, wenn gilt:

\[\mathrm{kern}(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n) = 0_V\]

es lässt sich also jeder darstellbare Vektor eindeutig als Linearkombination der anderen darstellen.

Sollte eine Lineare Hülle als Ergbenis entstehen, so sind die Vektoren linear abhängig.