\section{Relationen}

\subsection{Äquivlanzrelationen}

\begin{itemize}
  \item \textbf{Reflexivität}: $x \sim x$ für alle $x \in R$
  \item \textbf{Symmetrie}: $x \sim y \in R \Rightarrow y \sim x \in R$
  \item \textbf{Transitivität}: $x \sim y \in R \land y \sim z \in R \Rightarrow x \sim z \in R$
\end{itemize}

\subsection{Ordnungsrelationen}

\begin{itemize}
  \item \textbf{Antisymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \in R \Rightarrow x = y$
  \item \textbf{Reflexivität}
  \item \textbf{Transitivität}
\end{itemize}

\subsection{strikte Ordnungsrelationen}

\begin{itemize}
  \item \textbf{Asymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \notin R$
  \item \textbf{Transitivität}
\end{itemize}

\subsection{Kleinste und Größte Elemente}

\textbf{Kleinstes Element}: $x \in M$ ist kleinstes Element, wenn $\forall y \in M : x \leq y$ (Ein Element, das nur links in den Tupeln auftaucht) \\
\textbf{Minimale Elemente}: $x \in M$ ist minimal, wenn $\nexists y \in M : y < x$ (Alle Elemente, die nur links in den Tupeln auftauchen) \\
\textbf{Größtes Element}: $x \in M$ ist größtes Element, wenn $\forall y \in M : x \geq y$ (Ein Element, das nur rechts in den Tupeln auftaucht) \\
\textbf{Maximale Elemente}: $x \in M$ ist maximal, wenn $\nexists y \in M : y > x$ (Alle Elemente, die nur rechts in den Tupeln auftauchen)

\subsection{Äquivalenzklassen}

\textbf{Äquivalenzklasse}: $[x] = \{y \in M | x \sim y\}$ (Alle elemente, die $x$ links im Tupel stehen haben) \\
\textbf{Äquivalenzrelation}: $x \sim y \Leftrightarrow [x] = [y]$ \\
\textbf{Menge der Äquivalenzklassen}: $R / M = \{[x] | x \in M\}$ (Keine Duplikate)