\section{Determinanten}

\subsection{Umformungen}
Zeilen und Spalten erlaubt.

\subsection{Multiplikation}
Zeilen und Spalten erlaubt.\\
Jedoch muss dann das Ergebnis mit $\frac{1}{\lambda}$ multipliziert werden.

\subsection{Tauschen}
Zeilen und Spalten erlaubt.\\
Dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

\subsection{Berechnen}

Ist $A$ eine obere Dreiecksmatrix, also gilt
\[ A = \begin{pmatrix}
		\lambda_1 &        & (*)       \\
		          & \ddots &           \\
		0         &        & \lambda_n
	\end{pmatrix}\]
dann gilt $\det A =\prod_{i=1}^n \lambda_i = \lambda_1 \cdots \lambda_n$.

Gibt es quadratische Matrizen $A_1$ und $A_2$, sodass gilt
\[ A = \begin{pmatrix}
		A_1 & C   \\
		0   & A_2
	\end{pmatrix}\]
Dann gilt $\det A = \det (A_1) \cdot \det(A_2).$

\subsection{Laplace'scher Entwicklungssatz}

\[ A_{ij} =
	\begin{pmatrix}
		a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
		\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
		\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn}
	\end{pmatrix}
\]

Entwicklung nach $i$-te Zeile: \[det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
oder $j$-te Spalte \[det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
Ist nun in der Spalte $j$ / Zeile $i$ alles außer $a_{ij}$ gleich $0$, so gilt
\[\det A = (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]

\subsection{Satz von Sarrus}

Für eine $2 \times 2$-Matrix \[ A = \begin{pmatrix}
		a & b \\
		c & d
	\end{pmatrix}\] gilt $\det A = ad - bc$.
