\section{Vollständige Induktion}

$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}$$

\emph{Induktionsanfang:}\\
Für $n=1$ gilt
\[ \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
Die Behauptung ist also wahr für $n=1$.\\
\emph{Induktionsschritt:}\\
Sei die Behauptung nun wahr für ein $n \in \mathbb{N}$. Dann erhalten wir
\begin{align*}
	\sum_{k=1}^{n+1} k & = \sum_{k=1}^n k + (n+1)          \\
	                   & = \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1) \\
	                   & = \frac{n^2+n+2n+2}{2}            \\
	                   & = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
\end{align*}
Die Aussage gilt also auch für $n+1$.
