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Lineare Algebra/inhalt/06_vollstaendigeInduktion.tex

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+\section{Vollständige Induktion}
+
+$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot(n+1)}{2}$$
+
+\emph{Induktionsanfang:}\\
+Für $n=1$ gilt
+\[ \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
+Die Behauptung ist also wahr für $n=1$.\\
+\emph{Induktionsschritt:}\\
+Sei die Behauptung nun wahr für ein $n \in \mathbb{N}$. Dann erhalten wir
+\begin{align*}
+	\sum_{k=1}^{n+1} k & = \sum_{k=1}^n k + (n+1)          \\
+	                   & = \frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1) \\
+	                   & = \frac{n^2+n+2n+2}{2}            \\
+	                   & = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
+\end{align*}
+Die Aussage gilt also auch für $n+1$.