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Theoretische Informatik 1/inhalt/02_Relationen.tex

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+\section{Relationen}
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+\subsection{Äquivlanzrelationen}
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+\begin{itemize}
+  \item \textbf{Reflexivität}: $x \sim x$ für alle $x \in R$
+  \item \textbf{Symmetrie}: $x \sim y \in R \Rightarrow y \sim x \in R$
+  \item \textbf{Transitivität}: $x \sim y \in R \land y \sim z \in R \Rightarrow x \sim z \in R$
+\end{itemize}
+
+\subsection{Ordnungsrelationen}
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+\begin{itemize}
+  \item \textbf{Antisymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \in R \Rightarrow x = y$
+  \item \textbf{Reflexivität}
+  \item \textbf{Transitivität}
+\end{itemize}
+
+\subsection{strikte Ordnungsrelationen}
+
+\begin{itemize}
+  \item \textbf{Asymmetrie}: $x \sim y \in R \land y \sim x \notin R$
+  \item \textbf{Transitivität}
+\end{itemize}
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+\subsection{Kleinste und Größte Elemente}
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+\textbf{Kleinstes Element}: $x \in M$ ist kleinstes Element, wenn $\forall y \in M : x \leq y$ (Ein Element, das nur links in den Tupeln auftaucht) \\
+\textbf{Minimale Elemente}: $x \in M$ ist minimal, wenn $\nexists y \in M : y < x$ (Alle Elemente, die nur links in den Tupeln auftauchen) \\
+\textbf{Größtes Element}: $x \in M$ ist größtes Element, wenn $\forall y \in M : x \geq y$ (Ein Element, das nur rechts in den Tupeln auftaucht) \\
+\textbf{Maximale Elemente}: $x \in M$ ist maximal, wenn $\nexists y \in M : y > x$ (Alle Elemente, die nur rechts in den Tupeln auftauchen)
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+\subsection{Äquivalenzklassen}
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+\textbf{Äquivalenzklasse}: $[x] = \{y \in M | x \sim y\}$ (Alle elemente, die $x$ links im Tupel stehen haben) \\
+\textbf{Äquivalenzrelation}: $x \sim y \Leftrightarrow [x] = [y]$ \\
+\textbf{Menge der Äquivalenzklassen}: $R / M = \{[x] | x \in M\}$ (Keine Duplikate)